Prodotto scalare e proiezione ortogonale

[BRN1]

Ciao a tutti, vi posto la mia soluzione al seguente esercizio, per avere una vostra conferma riguardo alla correttezza.

Si consideri su $ RR^3 $ il prodotto scalare $ <,>_A $ con $ A=( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 3 , -1 ),( 0 , -1 , 4 ) ) $

a) si verifichi che $ <,>_A $ è definito positivo.
Studio i minori principali di N.O.:
$ det(2)=2 >0 $ ; $ det( ( 2 , 1 ),( 1 , 3 ) )=5 >0 $ ; $ det( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 3 , -1 ),( 0 , -1 , 4 ) )=18 >0 $

essendo tutti i minori principali $ >0 $, allora $ <,>_A $ è definito positivo.

b) si trovi una base ortogonale per $ <,>_A $.
Dalla matrice $ A $ ricavo che $ g_k(x,y)=2x_1y_1+3x_2y_2+4x_3y_3+(x_1y_2+x_2y_1)-(x_2y_3+x_3y_2) $
Considero un generico vettore in $ RR^3 $ $ v=(1,1,1) $ e rispettando $ g_k $ cerco due vettori ortogonali a questo, risolvendo il sistema:

$ { ( 2y_1+3y_2+4y_3+y_2+y_1-y_3-y_2=0 ),( y_2=s ),( y_3=t ):} $ da cui, $ { ( y_1=-s-t ),( y_2=s ),( y_3=t ):} $

quindi $ ( ( y_1 ),( y_2 ),( y_3 ) )=s( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) )+t( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $

ottenendo la base $ B={( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) );( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) );( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) )} $

c) si scriva la matrice della proiezione ortogonalesul sottospazio generato da $ (1,1,0)^t $ rispetto alla base canonica.
Dunque, cerco altri due vettori appartenenti al sottospazio in questione, mettendo a sistema:

$ { ( x+y=0 ),( y=s ),( z=t ):} $ da cui $ ( ( x ),( y ),( z ) )=s( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) )+t( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

Quindi una base per questo sottospazio è: $ {( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) );( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) );( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )} $

Dato che una matrice di proiezione ortogonale ammette solo autovalori 0 e 1, ho che:

$ [P( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )]^^[P( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) )]^^[P( ( 0 ),( 0 ),(1 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )] $

e ricavo P:

$ P=( ( 1 , -1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )( ( 1 , -1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )^-1=( ( 1/2 , -1/2 , 1 ),( -1/2 , 1/2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $

Secondo voi è corretto quello che ho fatto??? Ho dubbi sopratutto sul punto c)...

Grazie a chi mi risponde!

.BRN

[BRN1]

Infatti, il mio dubbio più grande era se il punto c) fosse riferito o meno al prodotto scalare standard.
A parte questo le tue correzioni non fanno una grinza.

Grazie mille Sergio!

.BRN