Prodotto scalare e norma vs moltiplicazione e modulo
Salve a tutti!
Sto cercando di cogliere il senso profondo del prodotto scalare canonico e della relativa norma, ma ho ancora diversi dubbi. Perdonatemi, le mie domande potrebbero essere abbastanza banali.
Le seguenti sono le mie conclusioni, vi prego di correggerle/spiegarmi dove sbaglio.
Da quello che ho capito il prodotto scalare è un'operazione propria degli spazi vettoriali, tra cui R stesso. Per cui potrei dire che la moltiplicazione è un caso particolare del prodotto scalare (con dimensione = 1), mentre il valore assoluto è un caso particolare della norma.
Per cui se \(\displaystyle a, b \in R \) si ha che \(\displaystyle a \cdot b = ab \) e \(\displaystyle ||a|| = |a| \). E, dato che il risultato di un prodotto scalare è uno scalare, dovrei poter dire che anche \(\displaystyle ||x \cdot y|| = |x \cdot y| \) con \(\displaystyle x, y \in R^n \).
Allo stesso modo: \(\displaystyle (x \cdot y)^2 = (x\cdot y)(x \cdot y) = (x \cdot y) \cdot (x \cdot y) = ||x \cdot y||^2 = (x \cdot x) \cdot (y \cdot y) = ||x||^2 \cdot ||y||^2 = ||x||^2||y||^2 \) e qui mi fermo perché qualcosa mi dice che ho sbagliato tutto. Ma esattamente cosa?
Sto cercando di cogliere il senso profondo del prodotto scalare canonico e della relativa norma, ma ho ancora diversi dubbi. Perdonatemi, le mie domande potrebbero essere abbastanza banali.
Le seguenti sono le mie conclusioni, vi prego di correggerle/spiegarmi dove sbaglio.
Da quello che ho capito il prodotto scalare è un'operazione propria degli spazi vettoriali, tra cui R stesso. Per cui potrei dire che la moltiplicazione è un caso particolare del prodotto scalare (con dimensione = 1), mentre il valore assoluto è un caso particolare della norma.
Per cui se \(\displaystyle a, b \in R \) si ha che \(\displaystyle a \cdot b = ab \) e \(\displaystyle ||a|| = |a| \). E, dato che il risultato di un prodotto scalare è uno scalare, dovrei poter dire che anche \(\displaystyle ||x \cdot y|| = |x \cdot y| \) con \(\displaystyle x, y \in R^n \).
Allo stesso modo: \(\displaystyle (x \cdot y)^2 = (x\cdot y)(x \cdot y) = (x \cdot y) \cdot (x \cdot y) = ||x \cdot y||^2 = (x \cdot x) \cdot (y \cdot y) = ||x||^2 \cdot ||y||^2 = ||x||^2||y||^2 \) e qui mi fermo perché qualcosa mi dice che ho sbagliato tutto. Ma esattamente cosa?
Risposte
Sbagli quando scrivi $||x\cdot y||$, infatti $x \cdot y$ è uno scalare, e non puoi calcolare la norma di uno scalare (puoi calcolare solo la norma di un vettore).
Allo stesso modo puoi calcolare il prodotto scalare tra due vettori, ma non il prodotto scalare tra due scalari, quindi non ha senso scrivere $(x \cdot y)\cdot (x \cdot y)$.
Allo stesso modo puoi calcolare il prodotto scalare tra due vettori, ma non il prodotto scalare tra due scalari, quindi non ha senso scrivere $(x \cdot y)\cdot (x \cdot y)$.
Grazie per la risposta!
Tuttavia mi sorge un'altra domanda: non potrei interpretare uno scalare come un vettore di \(\displaystyle R^1 \)? O c'è qualche differenza intrinseca tra i due elementi?
Tuttavia mi sorge un'altra domanda: non potrei interpretare uno scalare come un vettore di \(\displaystyle R^1 \)? O c'è qualche differenza intrinseca tra i due elementi?
"billyballo2123":
Sbagli quando scrivi $||x\cdot y||$, infatti $x \cdot y$ è uno scalare, e non puoi calcolare la norma di uno scalare (puoi calcolare solo la norma di un vettore).
La norma di un vettore, da quanto ne so io, è un'astrazione/generalizzazione del concetto di lunghezza espresso dal modulo di uno scalare; o sbaglio?
Così, se ho un vettore $v=(x_1,...,x_n)$ $1xxn$, o $nxx1$, si ha che $||v||=sqrt(x_1^2+...+x_n^2)$;
un numero $a in RR$ lo possiamo pensare come una matrice $1xx1$, la cui norma coincide con sé stesso $||a||=sqrt(a^2)=a$.
"Einlar":
Grazie per la risposta!
Tuttavia mi sorge un'altra domanda: non potrei interpretare uno scalare come un vettore di \(\displaystyle R^1 \)? O c'è qualche differenza intrinseca tra i due elementi?
Dunque: Innanzitutto dobbiamo fissare lo spazio in cui stiamo lavorando, che possiamo supporre $\mathbb{R}^n$ ($n$ non è necessariamente uguale a $1$).
Ora, dati due vettori qualunque di $\mathbb{R}^n$ il prodotto scalare standard $\cdot :\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ è definito come
\[
x\cdot y = x_1y_1 + \ldots + x_ny_n.
\]
Da qui si vede che otteniamo uno scalare partendo da due vettori. Esaminiamo ogni singolo passaggio della catena di uguaglianze del primo messaggio:
\[
(x\cdot y)^2=(x\cdot y)(x\cdot y)
\]
Fin qui tutto bene, Infatti non facciamo altro che moltiplicare scalarmente due vettori (che è lecito!) ottenendo così uno scalare che possiamo quindi elevare al quadrato, che è equivalente a moltiplicarlo per se stesso.
\[
(x\cdot y)(x\cdot y)=(x\cdot y)\cdot(x\cdot y)
\]
Qui iniziano i problemi. Il membro a sinistra dell'equazione, come abbiamo visto nel primo passaggio, è lecito, ma il secondo ha un problema: c'è il prodotto scalare tra $(x\cdot y)$ (che è uno scalare!) con se stesso, ma come abbiamo visto, il prodotto scalare su $\mathbb{R}^n$ si puù fare solo tra due vettori.
Ora tu dici "ma due numeri possono essere considerati due vettori di $\mathbb{R}^1$". Vero, però qui stiamo lavorando in $\mathbb{R}^n$, non possiamo cambiare spazio vettoriale come se niente fosse. In altre parole, abbiamo stabilito che il simbolo del puntino "$\cdot$" rappresenta il prodotto scalare su $\mathbb{R}^n$, quindi non puoi usarlo anche per il prodotto scalare su $\mathbb{R}^1$.
Se indichiamo con un altro simbolo il prodotto scalare di $\mathbb{R}^1$, ad esempio con l'asterisco, allora potremmo scrivere (anche se non ne vedo l'utilità)
\[
(x\cdot y)^2=(x\cdot y)(x\cdot y)=(x\cdot y)*(x\cdot y),
\]
ma la scrittura
\[
(x\cdot y)^2=(x\cdot y)(x\cdot y)=(x\cdot y)\cdot(x\cdot y)
\]
è sbagliata!!
"Magma":
La norma di un vettore, da quanto ne so io, è un'astrazione/generalizzazione del concetto di lunghezza espresso dal modulo di uno scalare; o sbaglio?
Così, se ho un vettore $ v=(x_1,...,x_n) $ $ 1xxn $, o $ nxx1 $, si ha che $ ||v||=sqrt(x_1^2+...+x_n^2) $;
un numero $ a in RR $ lo possiamo pensare come una matrice $ 1xx1 $, la cui norma coincide con sé stesso $ ||a||=sqrt(a^2)=a $.
A parte la piccola distrazione (sarebbe $||a||=\sqrt{a^2}=|a|$, perché potrebbe essere $a<0$), il tuo ragionamento è giusto, però non capisco cosa volevi dire con questo.
"billyballo2123":
[quote="Magma"]
La norma di un vettore, da quanto ne so io, è un'astrazione/generalizzazione del concetto di lunghezza espresso dal modulo di uno scalare; o sbaglio?
Così, se ho un vettore $ v=(x_1,...,x_n) $ $ 1xxn $, o $ nxx1 $, si ha che $ ||v||=sqrt(x_1^2+...+x_n^2) $;
un numero $ a in RR $ lo possiamo pensare come una matrice $ 1xx1 $, la cui norma coincide con sé stesso $ ||a||=sqrt(a^2)=a $.
A parte la piccola distrazione (sarebbe $||a||=\sqrt{a^2}=|a|$, perché potrebbe essere $a<0$), il tuo ragionamento è giusto, però non capisco cosa volevi dire con questo.[/quote]
Davo per scontato che $a$ fosse positivo
Volevo capire se era giusto fare la norma di uno scalare, altrimenti il dubbio mi avrebbe tormentato
"billyballo2123":
Ora tu dici "ma due numeri possono essere considerati due vettori di $\mathbb{R}^1$". Vero, però qui stiamo lavorando in $\mathbb{R}^n$, non possiamo cambiare spazio vettoriale come se niente fosse. In altre parole, abbiamo stabilito che il simbolo del puntino "$\cdot$" rappresenta il prodotto scalare su $\mathbb{R}^n$, quindi non puoi usarlo anche per il prodotto scalare su $\mathbb{R}^1$.
Ecco, questo era il passaggio logico che mi mancava. Ora ho finalmente tutto chiaro, grazie mille!
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