Prodotto scalare e lineare indipendenza

[petrogass]

Salve avrei bisogno di una mano ad approcciare questo problema.

I vettori $ e^1, e^2, ... ,e^(n+1) $ appartengono allo spazio euclideo $ R^n $ e soddisfano le relazioni $ <0 AA i!= j $. Si dimostri che qualsiasi n vettori scelti tra questi formano una base.

[killing_buddha]

Presi $n$ vettori (wlog, i primi $n$) devi mostrare che sono linearmente indipendenti; questo si può mostrare facendo appello alla matrice di Gram dei vettori: vedi in particolare qui.

[petrogass]

"killing_buddha":Presi $n$ vettori (wlog, i primi $n$) devi mostrare che sono linearmente indipendenti; questo si può mostrare facendo appello alla matrice di Gram dei vettori: vedi in particolare qui.

A lezione non abbiamo parlato di questa matrice, è possibile dimostrarlo in altri modi?

[Ernesto011]

Puoi provare per induzione, come ha detto Killing basta dimostrare che lo sono i primi $n$ (a meno di permutarli, eventualmente).
P(k)="i primi k vettori sono linearmente indipendenti" , dimostriamo che è vero per $k=1,...,n$.

$k=1$ è banale.
Supponiamo vero per $1<=k Ma allora facendo il prodotto scalare ad ambo i membri

$0< (e_(k+1),e_(k+1))= (sum_{i=1}^k lambda_i e_i,e_(k+1))=sum_{i=1}^k lambda_i (e_i,e_(k+1))$

Stesso ragionamento:

$0>(e_(k+1),e_(k+2))= (sum_{i=1}^k lambda_i e_i,e_(k+2))=sum_{i=1}^k lambda_i (e_i,e_(k+2))$

$0>(e_(k+1),e_(j))= (sum_{i=1}^k lambda_i e_i,e_j)=sum_{i=1,i!=j}^k lambda_i (e_i,e_j)$ per ogni $j=1,...,k$

Non riesco a mettere in relazione le disequazioni per trovare un assurdo, forse si può fare però.