Prodotto scalare e base ortonormale
Buonasera non riesco a capire come svolgere questo problema:
In R^3 sia assegnato il prodotto scalare:
$ =x1y1+4x2y2+2x2y3+2x2y3+ 2 x3y2 $
Verficare che tale prodotto è definito positivo. Trovare una base ortonormale rispetto al dato prodotto scalare del sottospazio W generato dai vettori:
$ v1=(0,2,0) $
$ v2=(4,1,1) $ $ v3=(-4,5,-1) $
Per risolvere la prima parte scrivo la matrice:
$ S=( ( 1,0,0),( 0,4,2 ),( 0,2,2 ) ) $
Calcolo gli autovalori:
$ t1=(3+sqrt(5))/2 $
$ t2=(3-sqrt(5))/2 $
$ t3=1 $
Essendo tutti maggiori di $ 0 $ il prodotto scalare è definito positivo.
Ora come faccio a trovare la base ortonormale?
In R^3 sia assegnato il prodotto scalare:
$
Verficare che tale prodotto è definito positivo. Trovare una base ortonormale rispetto al dato prodotto scalare del sottospazio W generato dai vettori:
$ v1=(0,2,0) $
$ v2=(4,1,1) $ $ v3=(-4,5,-1) $
Per risolvere la prima parte scrivo la matrice:
$ S=( ( 1,0,0),( 0,4,2 ),( 0,2,2 ) ) $
Calcolo gli autovalori:
$ t1=(3+sqrt(5))/2 $
$ t2=(3-sqrt(5))/2 $
$ t3=1 $
Essendo tutti maggiori di $ 0 $ il prodotto scalare è definito positivo.
Ora come faccio a trovare la base ortonormale?
Risposte
Mai sentito parlare del procedimento di Gram–Schmidt?
"Emar":
Mai sentito parlare del procedimento di Gram–Schmidt?
La tua risposta non toglie i miei dubbi. Forse è meglio che spieghi come abbia fatto per avere conferme o smentite!
$ S= ((1,0,0),(0,4,2),(0,2,2)) $
Con
$ v1=(1,0,0) $
$v2=(0,4,2) $
$ v3=(0,2,2) $
Ora scrivo:
$ w1=v1 $ e $ u1=(1,0,0) $
$w2= ( (0), ( 4 ),( 2 ) )-0*((1),(0),(0))=(0,4,2) $ e $ u2=1/(sqrt20)*(0,4,2) $
$ w3=((0),(2),(2))-0*((1),(0),(0))-3/5 *((0),(4),(2))=(0,-2,4) $ e quindi $ u3=1/(sqrt20)*(0,-2,4) $
Però $u1, u2, u3 $ sono espressi rispetto al prodotto scalare standard.
A questo punto io moltiplicherei $ u1, u2, u3 $ per i vettori dati.
Quindi:
$ k1=u1*((0),(2),(0))= (0,0,0) $
$ k2=u2*((4),(1),(1))=1/(sqrt20)*(0,4,2) $
$ k3=u3*((-4),(5),(-1))=1/(sqrt20)*(0,-10,-4) $
Quindi la base ortonormale è data da: $ k2, k3 $ ???
Sono di fretta, rispondo velocemente. Nel processo di ortogonalizzazione non devi usare il prodotto scalare standard ma bensì la forma bilineare che ti è stata data.
Scusami, ma non riesco proprio a capire come procedere.. Non ho trovato nessun esempio che mi aiuti a capire

Indichiamo con il punto $\cdot$ il prodotto scalare standard e con i bracket \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) la forma bilineare che ti è stata data. Lavoriamo con la base standard di $RR^3$. Abbiamo:
\[ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{x}^T\mathbf{y}\]
e
\[ \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^T S\mathbf{y}\]
dove a secondo membro si intendo prodotto righe per colonne e $S$ è la matrice che rappresenta la forma che è simmetrica e, come hai verificato, definita positiva e quindi è un prodotto scalare.
Dobbiamo trovare una base ortonormale di \(W = \mathrm{span} \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\) rispetto al prodotto \(\langle \cdot , \cdot \rangle\).
Preliminarmente possiamo studiare la dimensione del sottospazio \(W\). I vettori non sono linearmente indipendenti (il determinante della matrice formata da essi è nullo) e quindi il sottospazio \(W\) ha dimensione $2$. Possiamo quindi limitarci a applicare il procedimento di GS a due dei tre vettori dati.
Il processo di ortonormalizzazione sarà uguale a quello che hai svolto tu con la differenza che anziché usare il prodotto scalare standard useremo l'altro. Ovvero:
\[\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle \mathbf{v}_k,\mathbf{q}_i \rangle \mathbf{q}_i\] e \[\mathbf{q}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{\sqrt{\langle \mathbf{u}_k,\mathbf{u}_k \rangle}}\]
I vettori ottenuti saranno una base di $W$ ortonormale rispetto a \(\langle \cdot , \cdot \rangle\).
\[ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{x}^T\mathbf{y}\]
e
\[ \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^T S\mathbf{y}\]
dove a secondo membro si intendo prodotto righe per colonne e $S$ è la matrice che rappresenta la forma che è simmetrica e, come hai verificato, definita positiva e quindi è un prodotto scalare.
Dobbiamo trovare una base ortonormale di \(W = \mathrm{span} \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\) rispetto al prodotto \(\langle \cdot , \cdot \rangle\).
Preliminarmente possiamo studiare la dimensione del sottospazio \(W\). I vettori non sono linearmente indipendenti (il determinante della matrice formata da essi è nullo) e quindi il sottospazio \(W\) ha dimensione $2$. Possiamo quindi limitarci a applicare il procedimento di GS a due dei tre vettori dati.
Il processo di ortonormalizzazione sarà uguale a quello che hai svolto tu con la differenza che anziché usare il prodotto scalare standard useremo l'altro. Ovvero:
\[\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle \mathbf{v}_k,\mathbf{q}_i \rangle \mathbf{q}_i\] e \[\mathbf{q}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{\sqrt{\langle \mathbf{u}_k,\mathbf{u}_k \rangle}}\]
I vettori ottenuti saranno una base di $W$ ortonormale rispetto a \(\langle \cdot , \cdot \rangle\).
Eccomi, forse ci sono arrivata!
$ w1=v1 $
e $ u1=1/2* (0,2,0)=(0,1,0) $
$ w2=v2-()/()*w1=((4),(1),(1))-3/2*((0),(1),(0))=(4,1/2,1)=(8,-1,2) $
e $ u2=1/(sqrt69)*(8,-1,2) $
Non è necessario consideri $ v3 $ perchè è dipendente dagli altri due.
Giusto?

$ w1=v1 $
e $ u1=1/2* (0,2,0)=(0,1,0) $
$ w2=v2-(
e $ u2=1/(sqrt69)*(8,-1,2) $
Non è necessario consideri $ v3 $ perchè è dipendente dagli altri due.
Giusto?
Rileggi il messaggio, nella fretta avevo sbagliato alcuni indici.
Occhio! La normalizzazione va fatta rispetto alla norma indotta dal prodotto \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), ovvero \(\|\cdot\| = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle}\). Quindi al primo passo:
\[\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1, \quad \mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle}} \mathbf{u}_1 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}\]
Al secondo passo:
\[\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{q}_1 \rangle \mathbf{q}_1\]
Se proietti sui vettori \(\mathbf{q}_i\) già normalizzati non devi dividere per la norma quando proietti. Alla fine normalizzerai il vettore come prima. Prova a continuare...
Occhio! La normalizzazione va fatta rispetto alla norma indotta dal prodotto \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), ovvero \(\|\cdot\| = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle}\). Quindi al primo passo:
\[\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1, \quad \mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle}} \mathbf{u}_1 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}\]
Al secondo passo:
\[\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{q}_1 \rangle \mathbf{q}_1\]
Se proietti sui vettori \(\mathbf{q}_i\) già normalizzati non devi dividere per la norma quando proietti. Alla fine normalizzerai il vettore come prima. Prova a continuare...
GRAZIE
$ w2=((4),(1),(1))-3/2*((0),(1),(0))=(4,-1/2,1)=(8,-1,2) $
$ u2=1/sqrt68*(8,-1,2) $

$ w2=((4),(1),(1))-3/2*((0),(1),(0))=(4,-1/2,1)=(8,-1,2) $
$ u2=1/sqrt68*(8,-1,2) $
Ottimo!
