Prodotto scalare e base ortonormale

[Roggi1]

Salve,
Ho provato a svolgere un esercizio ma ho dei dubbi sulla risoluzione. Scrivo il testo:
Si consideri la forma bilineare simmetrica:
g((x,y,z),(x',y',z'))=4xx' + 2yy' - 3yz' - 3zy' + 9zz'.
1. Provare che g è un prodotto scalare;
2. Trovare una base ortonormale di R^3 rispetto a g.
Ho verificato che la forma bilineare è un prodotto scalare visto che g(x,y)=g(y,x); g(x+z,y)=g(x,y)+g(z,y); g(kx,y)=kg(x,y).
Ora per trovare la base ortonormale di R3 parto considerando le basi canoniche di R3:
e1={1,0,0}; e2={0,1,0}; e3={0,0,1}.
Quindi procedo con l'algoritmo di Gram-Schimdt e determino 3 vettori {1,0,0},{0,1,0},{0,3/2,1}.
So che una base per essere ortonormale deve avere tutti gli elementi di norma unitaria, quindi questa non è una base ortonormale, giusto?
A questo punto quella che ho trovato io è una base ortogonale?
Che passaggi devo fare per renderla ortonormale?
Scusate per il disturbo e Grazie per l'interesse

[Roggi1]

Grazie per la risposta.
Quindi questo punto ortonormalizzo il terzo vettore della base ortogonale {0,3/2,1} che ho trovato, perchè i primi 2 vettori sono già ortonormali in quanto ci sono termini di norma unitaria.
Svolgendo i calcoli mi viene {0,3(13)^(1/2),(13)^(1/2)/2} ma inserendo la matrice su wolfram-alpha torna così:
Orthonormal basis: {1,0,0},{0,2/(13)^(1/2),-3/(13)^(1/2)},{0,3/(13)^(1/2),2/(13)^(1/2)}.
A questo punto mi chiedo se abbia sbagliato il procedimento o soltanto i calcoli?
Grazie per l'attenzione

[Roggi1]

Ho inserito Gram-Schimdt prima del testo dell'esercizio.
Comunque trovo delle difficoltà.
Nel b. 1/(2)^(1/2) dovrebbe essere il secondo termine del vettore normalizzato e nel terzo la norma provata anche con un plug-in di wolfram-alpha viene come la ho calcolata io ma poi il vettore normalizzato non torna.
A questo punto non so cosa ho sbagliato veramente..