Prodotto scalare di un coseno per un altro

[alex170]

ciao a tutti!
Il mio problema è questo: le dispense del prof dicono che il prodotto scalare di due funzioni è
\( (x(t),y(t))=\int_{T/2}^{-T/2}x(t)y\ast (t) \, dt \)

dove
\( y\ast(t) \) è il coniugato di y(t)

Poi mi dice
Infatti
\( \int_{T/2}^{-T/2}cos(2\pi mt/T)cos(2\pi nt/T) \, dt\)
(per cui immagino che il coniugato del coseno sia se stesso essendo reale) risulta uguale a
\(1/2 \int_{T/2}^{-T/2}cos[2\pi(m+n)t/T]dt+1/2\int_{T/2}^{-1/2}cos[2\pi (m-n)t/T] \, dt \)
per le formule trigonometriche, e ok.

Pertanto
\( 1/2* \int_{T/2}^{-T/2}cos[2\pi(m+n)t/T]dt=0 \)
e
\( 1/2* \int_{T/2}^{-T/2}cos[2\pi(m-n)t/T]dt=\begin{cases} 0 \Rightarrow m\neq n \\ T/2 \Rightarrow m=n\end{cases} \)

potete spiegarmi come è arrivato a dire che l'integrale con il coseno con \(m+n\) è \(0\) mentre l'altro è \(0\) se \(m\neq n\)?

grazie!

[Pappappero1]

Perché l'intervallo $[-T/2,T/2]$ è un multiplo del periodo di quel coseno (il periodo sarebbe $T/{m+n}$ nel primo caso e $T/{m-n}$ nel secondo. L'integrale di un coseno sul suo periodo è $0$.

Ma anche facendo l'integrazione a mano (buttando via un po' di costanti) viene qualcosa tipo \([sin(x)]^{\pi/2}_{-\pi/2}\) che quindi è $0$.

[alex170]

Perfetto, immaginavo fosse una cosa del genere. Grazie mille ^_^