Prodotto scalare dei polinomi
salve gente.. ho cercato ma non ho trovato risposte riguardo questo esercizio, quindi chiedo cortesemente il vostro aiuto.
Devo calcolare il prodotto scalare dei polinomi p(t)=$2*t^2$ +2t +2 e q(t)=$-t^2$+2t$-sqrt(3)$.
il prodotto scalare tra due vettori so come si fa ma tra polinomi no. grazie.
Devo calcolare il prodotto scalare dei polinomi p(t)=$2*t^2$ +2t +2 e q(t)=$-t^2$+2t$-sqrt(3)$.
il prodotto scalare tra due vettori so come si fa ma tra polinomi no. grazie.
Risposte
Basta che consideri il vettore dei coefficienti: $v=(2,2,2) \ , \ w=(-1,2,-sqrt(3)$
"NightKnight":
Basta che consideri il vettore dei coefficienti: $v=(2,2,2) \ , \ w=(-1,2,-sqrt(3)$
E che significato possiamo attribuire al risultato $2-2sqrt(3)$ ?
se è così il risultato dovrebbe essere $2-2*sqrt(3)$ come dice camillo... sicuri che è così?
"Camillo":
E che significato possiamo attribuire al risultato $2-2sqrt(3)$ ?
Cosa intendi??
Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).
Nel caso dei polinomi cerco di rendermi conto a cosa potrebbe essere assimilato il pordotto scalare...
Nel caso dei polinomi cerco di rendermi conto a cosa potrebbe essere assimilato il pordotto scalare...
Se posso intromettermi...
In realtà sui polinomi si possono fare due diversi tipi di considerazioni, a seconda che li si consideri come fanno gli algebristi o come fanno gli analisti.
La differenza consiste in questo: per un algebrista, un polinomio non è né più né meno di una successione definitivamente nulla a valori in un anello (ad esempio $RR$); per un analista di norma un polinomio è un'applicazione che contiene unicamente una combinazione lineare di alcune potenze intere della variabile.
Dal punto di vista "algebrico", l'anello dei polinomi reali $RR[X]$ è praticamente indentificato con la classe delle successioni definitivamente nulle:
$c_(00):=\{ p=(p_n) \subseteq RR: exists nu \in NN_0: AA n >=nu, p_n=0\}$,
quindi si può mettere su $RR[X]$ il prodotto scalare canonico di $c_(00)$, ossia:
(a) $<< p,q >> :=\sum_(n=0)^(+oo) p_nq_n$
(ciò equivale a fare le somme dei prodotti dei coefficienti delle potenze omologhe); noto che la serie a secondo membro è, in realtà, una somma finita.
Dal punto di vista "analitico", viene naturale considerare le restrizioni dei polinomi ad intervalli limitati, tipo $[a,b]$, e quindi di solito si mette su $RR[X]$ il prodotto scalare integrale:
(b) $<< p,q>> :=\int_a^b p(x)*q(x)" d"x$.
Ovviamente i due approcci portano a diverse concezioni di ortogonalità e tutto il resto... E tra le due diverse opzioni non c'è alcun legame: basti pensare che $x,x^2$ sono ortogonali rispetto al prodotto scalare (a), ma non ortogonali rispetto al prodotto scalare (b) con $[a,b]=[0,1]$; analogamente i polinomi di Legendre d'ordine $0$ e $2$, ossia:
$p_0(x)=1, p_2(x)=1/2(3x^2-1)$
sono ortogonali rispetto al prodotto (b) con $[a,b]=[-1,1]$ ma non ortogonali rispetto al prodotto (a).
In realtà sui polinomi si possono fare due diversi tipi di considerazioni, a seconda che li si consideri come fanno gli algebristi o come fanno gli analisti.
La differenza consiste in questo: per un algebrista, un polinomio non è né più né meno di una successione definitivamente nulla a valori in un anello (ad esempio $RR$); per un analista di norma un polinomio è un'applicazione che contiene unicamente una combinazione lineare di alcune potenze intere della variabile.
Dal punto di vista "algebrico", l'anello dei polinomi reali $RR[X]$ è praticamente indentificato con la classe delle successioni definitivamente nulle:
$c_(00):=\{ p=(p_n) \subseteq RR: exists nu \in NN_0: AA n >=nu, p_n=0\}$,
quindi si può mettere su $RR[X]$ il prodotto scalare canonico di $c_(00)$, ossia:
(a) $<< p,q >> :=\sum_(n=0)^(+oo) p_nq_n$
(ciò equivale a fare le somme dei prodotti dei coefficienti delle potenze omologhe); noto che la serie a secondo membro è, in realtà, una somma finita.
Dal punto di vista "analitico", viene naturale considerare le restrizioni dei polinomi ad intervalli limitati, tipo $[a,b]$, e quindi di solito si mette su $RR[X]$ il prodotto scalare integrale:
(b) $<< p,q>> :=\int_a^b p(x)*q(x)" d"x$.
Ovviamente i due approcci portano a diverse concezioni di ortogonalità e tutto il resto... E tra le due diverse opzioni non c'è alcun legame: basti pensare che $x,x^2$ sono ortogonali rispetto al prodotto scalare (a), ma non ortogonali rispetto al prodotto scalare (b) con $[a,b]=[0,1]$; analogamente i polinomi di Legendre d'ordine $0$ e $2$, ossia:
$p_0(x)=1, p_2(x)=1/2(3x^2-1)$
sono ortogonali rispetto al prodotto (b) con $[a,b]=[-1,1]$ ma non ortogonali rispetto al prodotto (a).
esattamente: quindi "per gli algebristi" lo spazio dei polinomi di grado al più 2 $RR[X]_{leq 2}$ si pensa identificato con lo spazio euclideo $RR^3$.
"Camillo":
Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).
questo secondo me è vero in $RR^3$ o $RR^2$ dove abbiamo una nozione "naturale" di proiezione, per spazi di dimensione euclidei di dimensione più alta (o spazi più esotici) la cosa che dici te è vera per definizione.
come dice Gugo dati diversi prodotti scalari avrai divese relazioni ortogonalità, diverse "proiezioni" e così via.
spero di non aver espresso un concetto troppo vago
"rubik":
[quote="Camillo"]Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).
questo secondo me è vero in $RR^3$ o $RR^2$ dove abbiamo una nozione "naturale" di proiezione, per spazi di dimensione euclidei di dimensione più alta (o spazi più esotici) la cosa che dici te è vera per definizione.
come dice Gugo dati diversi prodotti scalari avrai divese relazioni ortogonalità, diverse "proiezioni" e così via.
spero di non aver espresso un concetto troppo vago
[/quote]No no non è vago .
Non so perchè ma mi è chiaro e spontaneo il concetto del prodotto scalare di 2 funzioni continue , $f$, $g $ in un certo intervallo $[a,b] $ inteso come $int_a^b f.gdx $ , invece coi polinomi (che sono pur sempre funzioni ) mi suona "strano".
Ho perso un colpo, succede
Grazie a tutti gli intervenuti per le precisazioni.
comunque mi chiede di calcolare il prodotto scalare di p(t) e q(t) e non il prodotto scalare TRA p(t) e q(t)...
"Rock Drummer":
comunque mi chiede di calcolare il prodotto scalare di p(t) e q(t) e non il prodotto scalare TRA p(t) e q(t)...
E che differenza c'è? (A parte la proposizione semplice, ovviamente.)
Devi pur sempre decidere che tipo di prodotto scalare vuoi calcolare... Tuttavia, secondo me puoi seguire tranquillamente il consiglio (e la soluzione) di NightKnight.
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