Prodotto scalare degenere e definitivo positivo
Buona serata, sto risolvendo un problema che mi sta dando grande difficoltà. Il problema è il seguente:
Sia V= R^2, sia S qualunque matrice simmetrica in M(2,2,R) e sia gs: V X V → R l'applicazione definita da gs(X,Y)= ^tXSY. Siano
A= \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix}, B=\begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix}, C=\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 5\end{matrix}.
1) Si verifichi che gs è un prodotto scalare su V
2) Si dica, per ciascuno dei prodotti scalari g(A), g(B), g(C), se il prodotto scalare è definito positivo, non degenere o degenere. Si dimostri quanto affermato
3) Se g(A) non è definito positivo, si verifichi se esiste X \in R^2 tale che g(A) (X,X) <0; se g(A) è definito positivo, si trovi una base di R^2 ortogonale rispetto a g(A). Si faccia lo stesso per g(B) e g(C).
Vi sarei grato se mi aiutaste passo per passo a risolvere questo esercizio. Grazie mille
Sia V= R^2, sia S qualunque matrice simmetrica in M(2,2,R) e sia gs: V X V → R l'applicazione definita da gs(X,Y)= ^tXSY. Siano
A= \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix}, B=\begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix}, C=\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 5\end{matrix}.
1) Si verifichi che gs è un prodotto scalare su V
2) Si dica, per ciascuno dei prodotti scalari g(A), g(B), g(C), se il prodotto scalare è definito positivo, non degenere o degenere. Si dimostri quanto affermato
3) Se g(A) non è definito positivo, si verifichi se esiste X \in R^2 tale che g(A) (X,X) <0; se g(A) è definito positivo, si trovi una base di R^2 ortogonale rispetto a g(A). Si faccia lo stesso per g(B) e g(C).
Vi sarei grato se mi aiutaste passo per passo a risolvere questo esercizio. Grazie mille
Risposte
Ciao.
Ciò detto, posta un tuo procedimento risolutivo, anche se sbagliato. Ad esempio (piccolo hint) nota che per una matrice (qualunque) \( S \) (compatibile), l'applicazione \( g_S \) del prodotto di un \( \mathbb{R} \)-spazio vettoriale \(V\) sul campo reale che associa i vettori colonna \( X \) e \( Y \) con \( ^tXSY \) (che è quello che ho inteso io) è bilineare: se \( X_1 \), \(X_2 \) e \( Y_1 \), \( Y_2 \) sono elementi vettori colonna in \( \mathbb{R} \), \( c \) scalare, allora
\[
\begin{split}
g_S(X_1+X_2,Y_i)&={^t(X_1+X_2)}SY_i=\dots=g_S(X_1,Y_i)+g(X_2,Y_i)\\
&\dots\\
g_S(cX_i,Y_i)&={^tcX_iSY_i}=\dots=cg_S(X_i,Y_i)\\
&\dots
\end{split}
\]
per \( i=1,2 \).
"alix12":Avrai maggiori possibilità di essere aiutato se modificherai il messaggio, riscrivendo le formule in modo più comprensibile.
Vi sarei grato se mi aiutaste passo per passo a risolvere questo esercizio
Ciò detto, posta un tuo procedimento risolutivo, anche se sbagliato. Ad esempio (piccolo hint) nota che per una matrice (qualunque) \( S \) (compatibile), l'applicazione \( g_S \) del prodotto di un \( \mathbb{R} \)-spazio vettoriale \(V\) sul campo reale che associa i vettori colonna \( X \) e \( Y \) con \( ^tXSY \) (che è quello che ho inteso io) è bilineare: se \( X_1 \), \(X_2 \) e \( Y_1 \), \( Y_2 \) sono elementi vettori colonna in \( \mathbb{R} \), \( c \) scalare, allora
\[
\begin{split}
g_S(X_1+X_2,Y_i)&={^t(X_1+X_2)}SY_i=\dots=g_S(X_1,Y_i)+g(X_2,Y_i)\\
&\dots\\
g_S(cX_i,Y_i)&={^tcX_iSY_i}=\dots=cg_S(X_i,Y_i)\\
&\dots
\end{split}
\]
per \( i=1,2 \).
[xdom="gugo82"]Dopo 20 post dovresti sapere che è buona norma inserire i tuoi tentativi di soluzione o, per lo meno, qualche tua idea... Aspettiamo con ansia che tu ci proponga qualcosa di simile.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo