Prodotto scalare definito positivo e base ortogonale
In R3(R) ho una funzione definita tramite la matrice
$1,2,k^2 -k$
$2,k+5,1$
$0,1,2(-1)^k$
Devo stabilire per quali valore di $k$ è un prodotto scalare. Per questo basta che $A^T = A$, quindi $k=0,1$.
Ora mi chiede per quali di questi valori il prodotto scalare è definito positivo. Che cosa devo verificare? Non posso certo provare con infiniti vettori e verificare che a forma quadratica risulta sempre positiva...
Altro problema. Fissato $k=1$ dire se la base canonice di R3 è ortogonale. Non lo è perché la matrice non è diagonale, ma a questo punto mi chiede di diagonalizzarla. Io ho pensato: faccio il prodotto scalare tra il vettore $(1,0,0)$ e un generico $(x,y,z)$ in modo da avere $(1,0,0)\cdot (x,y,z)=0$.
Così facendo trovo altri due vettori ortogonali e linearmente indipendenti tra loro, e anche ortogonali e linearmente indipendenti rispetto a $(1,0,0)$. Il risultato che ho sulle schede, però, non è quello che ottengo con questo procedimento.
$1,2,k^2 -k$
$2,k+5,1$
$0,1,2(-1)^k$
Devo stabilire per quali valore di $k$ è un prodotto scalare. Per questo basta che $A^T = A$, quindi $k=0,1$.
Ora mi chiede per quali di questi valori il prodotto scalare è definito positivo. Che cosa devo verificare? Non posso certo provare con infiniti vettori e verificare che a forma quadratica risulta sempre positiva...
Altro problema. Fissato $k=1$ dire se la base canonice di R3 è ortogonale. Non lo è perché la matrice non è diagonale, ma a questo punto mi chiede di diagonalizzarla. Io ho pensato: faccio il prodotto scalare tra il vettore $(1,0,0)$ e un generico $(x,y,z)$ in modo da avere $(1,0,0)\cdot (x,y,z)=0$.
Così facendo trovo altri due vettori ortogonali e linearmente indipendenti tra loro, e anche ortogonali e linearmente indipendenti rispetto a $(1,0,0)$. Il risultato che ho sulle schede, però, non è quello che ottengo con questo procedimento.
Risposte
Ora mi chiede per quali di questi valori il prodotto scalare è definito positivo. Che cosa devo verificare? Non posso certo provare con infiniti vettori e verificare che a forma quadratica risulta sempre positiva...
Le strade sono due: o verifichi che per il generico vettore $v=((x),(y),(z))$ succeda che $
Non lo è perché la matrice non è diagonale, ma a questo punto mi chiede di diagonalizzarla.
Per sicurezza hai verificato che, detta ${e_i}_(i=1)^3$ la base canonica, $
Sinceramente non immagino cosa capisca tu per "diagonalizzazione"...si tratta di trovare gli autovalori della matrice, cioè le $x:\ det(A-xI) = 0$: detti $lambda_1,\ lambda_2,\ lambda_3$ gli autovalori di $A$, questa verrà diagonalizzata nella matrice $D = ((lambda_1,0,0),(0,lambda_2,0),(0,0,lambda_3))$...
Ti ringrazio davvero molto per le risposte. Ho capito perfettamente. Però io sono un pirla. Al secondo punto mi viene chiesto di ortogonalizzare la base (non digonalizzare). Perdona la stanchezza. Sapresti indicarmi il metodo per ortogonalizzarla?
Poiché la matrice associata ad un prodotto scalare $\phi$ rispetto ad una data base $B = {v_1, ... , v_n }$ è così definita: $[m_B(\phi)]_{ij} = \phi (v_i, v_j)$ mi sembra ovvio che una matrice che rappresenti un p.s. di forma diagonale sia scritta rispetto ad una base ortogonale.
Se per $k=1$ il tuo p.s. è definito positivo sicuramente non esistono vettori isotropi. Inoltre il tuo spazio vettoriale ha supporto $RR$ quindi siamo in presenza di uno Spazio Euclideo $(RR^3, \phi)$ allora si può usare il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, che ti permette di trasformare una base in una base ortogonale, e all'occorrenza anche ortonormale, in un solo colpo proprio perché non esistono vettori isotropi, al contrario dell'algoritmo di Lagrange:
sia $C = {e_1, e_2, e_3}$ la tua base di partenza e $S = {v_1, v_2, v_3}$ la base di arrivo ortogonale che si ottiene così:
$v_1 = e_1$
$v_2 = e_2 - (\phi(e_2, v_1))/(\phi(v_1, v_1)) v_1$
$v_3 = e_3 - (\phi(e_3, v_2))/(\phi(v_2, v_2)) v_2 - (\phi(e_3, v_1))/(\phi(v_1, v_1)) v_1$
se il p.s per $k=1$ non risulta def. positivo allora devi usare l'algoritmo di Lagrange.
Se per $k=1$ il tuo p.s. è definito positivo sicuramente non esistono vettori isotropi. Inoltre il tuo spazio vettoriale ha supporto $RR$ quindi siamo in presenza di uno Spazio Euclideo $(RR^3, \phi)$ allora si può usare il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, che ti permette di trasformare una base in una base ortogonale, e all'occorrenza anche ortonormale, in un solo colpo proprio perché non esistono vettori isotropi, al contrario dell'algoritmo di Lagrange:
sia $C = {e_1, e_2, e_3}$ la tua base di partenza e $S = {v_1, v_2, v_3}$ la base di arrivo ortogonale che si ottiene così:
$v_1 = e_1$
$v_2 = e_2 - (\phi(e_2, v_1))/(\phi(v_1, v_1)) v_1$
$v_3 = e_3 - (\phi(e_3, v_2))/(\phi(v_2, v_2)) v_2 - (\phi(e_3, v_1))/(\phi(v_1, v_1)) v_1$
se il p.s per $k=1$ non risulta def. positivo allora devi usare l'algoritmo di Lagrange.
Ti ringrazio molto. Mi resta solo un dubbio. Come trovare i vettori della base di partenza? Uso la base canonica $(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)$?
Edit: Penso che la formula che hai scritto per Gram Schmidt sia sbagliata. Ci sono sì il prodotto scalare tra un vettore e l'altro, diviso la forma quadratica, ma la frazione è moltiplicata solo per v, viceversa si ottiene una differenza tra un vettore e uno scalare.
Edit: Penso che la formula che hai scritto per Gram Schmidt sia sbagliata. Ci sono sì il prodotto scalare tra un vettore e l'altro, diviso la forma quadratica, ma la frazione è moltiplicata solo per v, viceversa si ottiene una differenza tra un vettore e uno scalare.
Sì scusami hai ragione assolutamente! Correggo subito.
Secondo me è con la canonica.
Secondo me è con la canonica.
Altro problema. Fissato k=1 dire se la base canonice di $RR^3$ è ortogonale [...] ma a questo punto mi chiede di ortogonalizzarla...[...] Mi resta solo un dubbio. Come trovare i vettori della base di partenza? Uso la base canonica?
Da come hai scritto la richiesta, direi che è la base canonica. Altrimenti puoi sbizzarrirti e prendere 3 vettori di $RR^3$ linearmente indipendenti e ortogonalizzarli con Gram-Schmidt, però i conti con la base canonica sono sempre i più semplici.
Di nuovo grazie ad entrambe. Mi avete chiarito un dubbio che mi rodeva.
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