Prodotto scalare: cosa ha fatto?
Salve, dati due vettori $w_1$ e $w_2$ tali che
[tex]\vec{w_{1}}=\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}[/tex]
[tex]\vec{w_{2}}=\frac{\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}}{\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}[/tex]
Il mio testo ottiene:
[tex]$\left\langle \vec{w_{1}},\vec{w_{2}}\right\rangle =\left\langle \frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|},\frac{\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}}{\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}\right\rangle =\frac{\left\langle \vec{v_{1}},\vec{v_{2}}\right\rangle }{|\vec{v_{1}|}\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}-\frac{\left\langle \vec{v_{2}},\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}\right\rangle \left\langle \vec{v_{1}},\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}\right\rangle }{|\vec{v_{1}|}\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}$[/tex]
Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa ha fatto tra il secondo e il terzo passaggio? Parla di proprietà distributiva, ma il secondo termine non mi pare che sia somma di due vettori (non c'è un modo per scomporre la norma messa sotto. Infatti $|a+b| \le |a|+|b|$ e non semplicemente $=$)
[tex]\vec{w_{1}}=\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}[/tex]
[tex]\vec{w_{2}}=\frac{\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}}{\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}[/tex]
Il mio testo ottiene:
[tex]$\left\langle \vec{w_{1}},\vec{w_{2}}\right\rangle =\left\langle \frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|},\frac{\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}}{\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}\right\rangle =\frac{\left\langle \vec{v_{1}},\vec{v_{2}}\right\rangle }{|\vec{v_{1}|}\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}-\frac{\left\langle \vec{v_{2}},\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}\right\rangle \left\langle \vec{v_{1}},\frac{\vec{v_{1}}}{\left|\vec{v_{1}}\right|}\right\rangle }{|\vec{v_{1}|}\left|\vec{v_{2}}-\left\langle \vec{v_{2}},\vec{w_{1}}\right\rangle \vec{w_{1}}\right|}$[/tex]
Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa ha fatto tra il secondo e il terzo passaggio? Parla di proprietà distributiva, ma il secondo termine non mi pare che sia somma di due vettori (non c'è un modo per scomporre la norma messa sotto. Infatti $|a+b| \le |a|+|b|$ e non semplicemente $=$)
Risposte
Il prodotto scalare è una forma bilineare particolare, pertanto vale la seguente proprietà: $g(u,av+bw)=ag(u,v)+bg(u,w)$. Con qualche calcolo dovresti giungere al passaggio!
me lo sono fatto spiegare. Ti ringrazio per la risposta
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