Prodotto scalare canonico

[onizuka89]

$ ( ( ),( ) ) $ Salve a tutti, ho un esercizio di algebra lineare, che non mi vuole proprio riuscire:

Si consideri $ RR^3 $ con il prodotto scalare canonico, e sia

V = $ { $x in $ RR^3 $ $ : x1 + 2 x2 - 2 x3 = 0 } $

Si indichino $ a,b in V $ tali che

$ a _|_ b $ $ a!= 0 b!=0 $ e che d(a,b) = 10

Io avevo pensato di trovare una base di V,
Dopodiché siccome il prodotto è scalare canonico,
$ a * b $ = a1b1 + a2b2 + a3b3
Ora imponevo a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Prendevo come a1 b1,..., a3 b3 gli elementi della base di V appena trovata e cercavo una combinazione di quegli elementi, tale che quella somma venisse 0, ma non riesco ad andare avanti.
Sicuramente è qualcosa che non so, ma confido in voi per una soluzione.

Grazie

[RinoGandor]

Fissa un vettore ad esempio $\vec a$ così trovi un vettore ortogonale che appartiene a V, viceversa se hai una base di V ortogonalizza un vettore con il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere vettori ortogonali. Una volta che i vettori sono dati trova un multiplo tale che d(ka, b) = 10.

$\vec a = (0, 1, 1), \vec b = (2, -1, 0) in V$
$\vec b' = b - (a*b)/(a*a)*a = (4, -1, 1) -> a \bot b'$
$d(k\veca, \vecb') = ||k\veca-\vecb'||^(1/2) = \sqrt(16+(k+1)^2+(k-1)^2) = 10 -> k = sqrt(41)$