Prodotto scalare associato ad una matrice simmetrica
Si consideri la matrice simmetrica
$A=( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) )$
e sia ° il prodotto scalare in $RR^3$ associato ad A, si determini:
1- x°y, x°x
2- una base ortogonale di $RR^3$
3- il tipo di definizione di A
4- $RR^3$ ortogonale
per il primo punto conosco che $x^(T)*A*y$ è il prodotto scalare associato ad una matrice simmetrica, quindi il risultato sarebbe:
x°y=$y_1x_3-y_2x_2+y_3x_1$
x°x=$x_1x_3-(x_2)^2+x_3x_1$
una base ortogonale di $RR^3$, cioè che verifica x°y=0 è $ ( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) ) $,$ ( ( 0 ),( 2 ),( 1 ) ) $
il tipo di definizione di A è "definito negativo"
per l'ultimo punto non ho le idee ben chiare, qualcuno che mi aiuta? grazie in anticipo
$A=( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) )$
e sia ° il prodotto scalare in $RR^3$ associato ad A, si determini:
1- x°y, x°x
2- una base ortogonale di $RR^3$
3- il tipo di definizione di A
4- $RR^3$ ortogonale
per il primo punto conosco che $x^(T)*A*y$ è il prodotto scalare associato ad una matrice simmetrica, quindi il risultato sarebbe:
x°y=$y_1x_3-y_2x_2+y_3x_1$
x°x=$x_1x_3-(x_2)^2+x_3x_1$
una base ortogonale di $RR^3$, cioè che verifica x°y=0 è $ ( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) ) $,$ ( ( 0 ),( 2 ),( 1 ) ) $
il tipo di definizione di A è "definito negativo"
per l'ultimo punto non ho le idee ben chiare, qualcuno che mi aiuta? grazie in anticipo
Risposte
Attenzione al punto 2). Una base ortogonale di $RR^3$ è prima di tutto una base di $RR^3$ e questa può essere mai formata da $2$ vettori?
Per l'ultimo punto ricorda, cosa significa $RR^3$ ortogonale? E che relazione intercorre tra due generici spazi vettori $U$ ed $U^(\bot)$
Per l'ultimo punto ricorda, cosa significa $RR^3$ ortogonale? E che relazione intercorre tra due generici spazi vettori $U$ ed $U^(\bot)$
mmm giusto, riguardo l'esercizio e posto eventuali correzioni
grazie per la risposta
grazie per la risposta
allora mi sono corretto:
una base ortogonale di $RR^3$ è $((0),(1),(1)),((1),(1),(0)),((1),(1),(1))$ ovvero ho cercato un vettore non isotropo (x°x diverso da 0) ed ho stabilito due altri vettori ortogonali al primo vettore e anche tra loro, secondo x°y in questione.
per quanto riguarda $RR^3$ ortogonale mi hanno detto che un vettore di questo spazio è formato da una combinazione lineare tra i vettori della base che ho appena trovato
cioè? non mi torna affatto questa cosa...
una base ortogonale di $RR^3$ è $((0),(1),(1)),((1),(1),(0)),((1),(1),(1))$ ovvero ho cercato un vettore non isotropo (x°x diverso da 0) ed ho stabilito due altri vettori ortogonali al primo vettore e anche tra loro, secondo x°y in questione.
per quanto riguarda $RR^3$ ortogonale mi hanno detto che un vettore di questo spazio è formato da una combinazione lineare tra i vettori della base che ho appena trovato
cioè? non mi torna affatto questa cosa...
Non ho controllato i tuoi calcoli, ma per vedere se è corretta la base che hai trovato basta considerare il prodotto scalare dei tuoi vettori di base e verificare che siano a due a due ortogonali (cioè che il loro prodotto scalare sia 0).
Quanto ad $RR^3$ ortogonale, esso è il sottospazio vettoriale che contiene i vettori ortogonali rispetto a tutti i vettori di $RR^3$. Ovviamente se deve essere ortogonale a tutti i vettori di base, lo sarà a maggior ragione rispetto a tutti i vettori di base.
Quindi basterà imporre $b(u,v_1)=b(u,v_2)=b(u,v_3)=0$, dove ho chiamato $v_1,v_2,v_3$ i vettori di base di $RR^3$ e risolvere il sistema.
Quanto ad $RR^3$ ortogonale, esso è il sottospazio vettoriale che contiene i vettori ortogonali rispetto a tutti i vettori di $RR^3$. Ovviamente se deve essere ortogonale a tutti i vettori di base, lo sarà a maggior ragione rispetto a tutti i vettori di base.
Quindi basterà imporre $b(u,v_1)=b(u,v_2)=b(u,v_3)=0$, dove ho chiamato $v_1,v_2,v_3$ i vettori di base di $RR^3$ e risolvere il sistema.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo