Prodotto scalare associato a matrice simmetrica
Salve a tutti, avrei un dubbio... 
Mi viene data una matrice simmetrica A = $((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0))$ ed il relativo prodotto scalare in $R^3$.
Mi si chiede per ogni valore x,y di $R^3$ di calcolare $x*y$ e $x*x$, inoltre di determinare la definizione di A.
Ora io so che per il prodotto $x*y$ associato ad una matrice simmetrica si deve fare:
la trasposta di x moltiplicato A e moltiplicato la y, $x^t*A*y$. Analogamente sarà per il prodotto $x*x$ immagino..
Quello che mi chiedo è come trovare tale prodotto per ogni valore di $R^3$.. io pensavo di prendere una base di $R^3$ (ad esempio quella canonica) e poi provare per tali vettori queste operazioni ponendo come x un vettore e y un altro e cosi via per tutte le possibili combinazioni..
ovvero prima pongo x=$((1),(0),(0))$ e y=$((0),(1),(0))$ e faccio i calcoli, poi x=$((1),(0),(0))$ e y=$((0),(0),(1))$ e cosi via per tutte le possibili combinazioni..
In qst caso però trovo che tale prodotto sarà o 0 o maggiore di 0... quindi la matrice A sarebbe "SEMIDEFINITA POSITIVA".. mi accorgo però che se usassi una base di $R^3$ diversa, magari con vettore che hanno a primo elemento valori negativi, le cose cambierebbero e si avrebbe un altro tipo di definizione...
Quale è quindi il procedimento corretto per questo tipo di esercizio???
Mi viene data una matrice simmetrica A = $((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0))$ ed il relativo prodotto scalare in $R^3$.
Mi si chiede per ogni valore x,y di $R^3$ di calcolare $x*y$ e $x*x$, inoltre di determinare la definizione di A.
Ora io so che per il prodotto $x*y$ associato ad una matrice simmetrica si deve fare:
la trasposta di x moltiplicato A e moltiplicato la y, $x^t*A*y$. Analogamente sarà per il prodotto $x*x$ immagino..
Quello che mi chiedo è come trovare tale prodotto per ogni valore di $R^3$.. io pensavo di prendere una base di $R^3$ (ad esempio quella canonica) e poi provare per tali vettori queste operazioni ponendo come x un vettore e y un altro e cosi via per tutte le possibili combinazioni..
ovvero prima pongo x=$((1),(0),(0))$ e y=$((0),(1),(0))$ e faccio i calcoli, poi x=$((1),(0),(0))$ e y=$((0),(0),(1))$ e cosi via per tutte le possibili combinazioni..
In qst caso però trovo che tale prodotto sarà o 0 o maggiore di 0... quindi la matrice A sarebbe "SEMIDEFINITA POSITIVA".. mi accorgo però che se usassi una base di $R^3$ diversa, magari con vettore che hanno a primo elemento valori negativi, le cose cambierebbero e si avrebbe un altro tipo di definizione...
Quale è quindi il procedimento corretto per questo tipo di esercizio???
Risposte
Ti stai complicando orribilmente il lavoro 
Dati due vettori
[tex]$\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$[/tex]
[tex]$\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)$[/tex]
si tratta di calcolare il valore (che è un numero reale)
[tex]$\left(\begin{matrix}x_1x_2x_3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y_1\\y_2\\y_3\end{matrix}\right)$[/tex]
Questa è l'espressione del prodotto scalare [tex]$<\vec{x},\vec{y}>$[/tex]
Da qui, il calcolo di [tex]$<\vec{x},\vec{x}>$[/tex] è un caso particolare ed è banale.
Prova e vedi se ti viene, ciao!
Dati due vettori
[tex]$\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$[/tex]
[tex]$\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)$[/tex]
si tratta di calcolare il valore (che è un numero reale)
[tex]$\left(\begin{matrix}x_1x_2x_3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y_1\\y_2\\y_3\end{matrix}\right)$[/tex]
Questa è l'espressione del prodotto scalare [tex]$<\vec{x},\vec{y}>$[/tex]
Da qui, il calcolo di [tex]$<\vec{x},\vec{x}>$[/tex] è un caso particolare ed è banale.
Prova e vedi se ti viene, ciao!
Daccordo, però se i vettori x e y non sono dati e si chiede comunque di calcolare per ogni x,y di $R^3$ tale prodotto scalare e specificare la definizione di A???
Quali sono questi vettori da utilizzare in modo da comprendere questo prodotto per ogni vettore di $R^3$? [:(]
Quali sono questi vettori da utilizzare in modo da comprendere questo prodotto per ogni vettore di $R^3$? [:(]
"Brusta":
Daccordo, però se i vettori x e y non sono dati e si chiede comunque di calcolare per ogni x,y di $R^3$ tale prodotto scalare e specificare la definizione di A???
Appunto, per ogni. Ma non crederai davvero che è possibile andare a calcolare il prodotto scalare per tutte le possibili coppie di [tex]$\mathbb{R}^{3}$[/tex]. In una vita non riusciresti a calcolarne neanche la metà
I metodo è questo: prendi due vettori generici e ti trovi l'espressione (che ottieni se svolgi quei 3 prodotti di matrici che ti ho scritto).
Quei 2 vettori generici fanno le veci di qualsiasi coppia di vettori dello spazio.
E' come se ti dicessi: trova tutte le coppie dei punti [tex]$(x,y)$[/tex] con ordinata doppia dell'ascissa: non è che ti metti a scrivere
[tex]$(1,2)$[/tex], [tex]$(2,4)$[/tex] etc, ma si scrive [tex]$(x,2x)$[/tex]al variare di [tex]$x$[/tex], o anche "per ogni [tex]$x$[/tex]".
Spero di essermi spiegato.
Spiegato benissimo, grazie!
Lo avevo anche gia trovato come due vettori generici ma mi si è insinuato il dubbio di sbagliare perchè mi si chiede anche il tipo di definizione della matrice A... e questo lo si determina in base ai valori che troviamo in tale prodotti, più precisamente guardando se sono maggiori di 0, maggiori o uguali a 0, minori di 0, minori o uguali a 0... in pratica allora per il tipo di definizione di A devo basarmi sulla equazione generica che otterrò giusto?! Ad esempio:
ottengo dal prodotto associato $x_3*y_1+x_1*y_2$ riporto che $A$ è:
Lo avevo anche gia trovato come due vettori generici ma mi si è insinuato il dubbio di sbagliare perchè mi si chiede anche il tipo di definizione della matrice A... e questo lo si determina in base ai valori che troviamo in tale prodotti, più precisamente guardando se sono maggiori di 0, maggiori o uguali a 0, minori di 0, minori o uguali a 0... in pratica allora per il tipo di definizione di A devo basarmi sulla equazione generica che otterrò giusto?! Ad esempio:
ottengo dal prodotto associato $x_3*y_1+x_1*y_2$ riporto che $A$ è:
- Definita positiva se il prodotto associato è maggiore a 0, quindi se $x_3*y_1+x_1*y_2>0$, ovvero $x_3*y_1> -x_1*y_2$...
Semidefinita positiva se il prodotto è maggiore uguale a 0, quindi $x_3*y_1+x_1*y_2$$>=0$...
Definita negativa se il prodotto è minore a 0, cioè $x_3*y_1+x_1*y_2<0$
Semidefinita negativa se il prodotto è minore uguale a 0, ovvero $x_3*y_1+x_1*y_2$$<=0$[/list:u:1gapwmv6]
E' corretto???
Anzitutto mi pare, con un conto a mente, che l'espressione sia
[tex]$x_3y_1+x_1y_3$[/tex]
Una matrice è definitia positiva se per ogni vettore colonna $\vec{x}$ (salvo il nullo) si ha
[tex]$\vec{x}^{T}M\vec{x}>0$[/tex]
Cioè nella definizione iniziale dei prendere [tex]$\vec{x}=\vec{y}$[/tex].
Ti consiglio di vederti un po' di teoria di base prima di cimentarti negli esercizi.
Ok che facendo esercizi fissi bene i teoremi e i risultati perché li usi, ma almeno uno straccio di base devi averla.
[tex]$x_3y_1+x_1y_3$[/tex]
Una matrice è definitia positiva se per ogni vettore colonna $\vec{x}$ (salvo il nullo) si ha
[tex]$\vec{x}^{T}M\vec{x}>0$[/tex]
Cioè nella definizione iniziale dei prendere [tex]$\vec{x}=\vec{y}$[/tex].
Ti consiglio di vederti un po' di teoria di base prima di cimentarti negli esercizi.
Ok che facendo esercizi fissi bene i teoremi e i risultati perché li usi, ma almeno uno straccio di base devi averla.
Ops,
avevo capito male dalla teoria [
], grazie...
Rifacendo i calcoli allora ottengo:
$x_3*x_1+x_1*x_3$ ovvero $2*x_1*x_3$ giusto???
E quindi a tal punto vedo
Def. positiva: qualora $2*x_1*x_3>0$, ovvero per $x_1>0$ e $x_3>0$ o $x_1<0$ e $x_3<0$.
Def. negativa: per $2*x_1*x_3<0$, quindi $x_1>0$ e $x_3<0$ o $x_1<0$ e $x_3>0$.
Spero di non tralasciare niente o fare qlk errore banale...
avevo capito male dalla teoria [
], grazie...Rifacendo i calcoli allora ottengo:
$x_3*x_1+x_1*x_3$ ovvero $2*x_1*x_3$ giusto???
E quindi a tal punto vedo
Def. positiva: qualora $2*x_1*x_3>0$, ovvero per $x_1>0$ e $x_3>0$ o $x_1<0$ e $x_3<0$.
Def. negativa: per $2*x_1*x_3<0$, quindi $x_1>0$ e $x_3<0$ o $x_1<0$ e $x_3>0$.
Spero di non tralasciare niente o fare qlk errore banale...
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