Prodotto scalare

[Blackorgasm]

In $RR^3$ si opera con un prodotto scalare $*$ tale che

$( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )=0$ , $( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=-2$ , $( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=-3$

Si determini una base ortogonale del sottospazio

$V=<( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>$

Allora prendo un vettore non isotropo della base, per esempio $v=( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )$

siccome $v$ è una famiglia ortogonale e senza isotropi, pongo $V=<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>+<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>^bot$ (con $+$ in questo caso indico la somma diretta).

ogni vettore $x$ del sottospazio $V$ è del tipo $k( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+j( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )$

ora devo stabilirmi $<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>^bot$ ovvero $<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>^bot={x in V: x*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=0}$

faccio $x*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )$ e (ometto i calcoli) ottengo $k=-2/3j$

quindi $x=-2/3j( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+j( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )$. Questo vettore non deve essere isotropo quindi faccio $x*x$ e lo pongo diverso da 0, ottenendo come condizione che $j$ sia diverso da 0.

A questo punto posso stabilirmi $x$ prendendo per esempio $j=3$, quindi $x=( ( 1 ),( 4 ),( 4 ) )$

Allora alla fine ho che $V^bot=<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) ),( ( 1 ),( 4 ),( 4 ) )>$

giusto il procedimento?

[cirasa]

Un errore, credo di battitura.

"Blackorgasm":
...
Allora alla fine ho che $V^bot=<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) ),( ( 1 ),( 4 ),( 4 ) )>$

Dovrebbe essere $V=<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) ),( ( 1 ),( 4 ),( 4 ) )>$
Per il resto (a parte i calcoli che non ho controllato), confermo.

Alla fine, se vuoi esserne sicuro, puoi controllare i tuoi risultati, verificando che i due vettori trovati sono in $V$, sono linearmente indipendenti e ortogonali tra loro.

P.S. $oplus$ si scrive \$oplus\$.

[Blackorgasm]

ops si, con tutti questi ortogonali scrivo fischi per fiaschi grazie ancora e grazie per avermi indicato la somma diretta