Prodotto scalare

[AstaLaVista1]

Sia fissato un riferimento cartesiano ortogonale monometrico dello spazio. Determinare al variare del parametro $h$, i vettori $v(x,y,z)$ tale che il prodotto scalare di $v$ con $(1,1−h,−h)$ sia $1$, $v$ sia parallelo al piano $π : −y + hz = 0$ e il prodotto scalare di $v$ con $(0,h,−h)$ sia $−1$.

Non ho mai fatto un esercizio di questo tipo e non so come approcciarmi, voi ne sapete qualcosa?

[Berationalgetreal]

Siano:

\[ \vec u = \left (1, 1 - h, -h \right), \quad \vec w = \left (0, h, -h \right), \quad \vec v = \left (a, b, c \right) \]

Dobbiamo imporre le condizioni:
\[ \left \langle \vec v ; \vec u \right \rangle = 1, \ \left \langle \vec v ; \vec w \right \rangle = -1 \]
ed anche la condizione che \(\vec v \) sia parallelo al piano \(\pi \). D'altronde, sappiamo che un vettore perpendicolare a questo piano, in base alla sua equazione cartesiana, è \( \vec p = \left (0, -1, h \right) \); se \(\vec v \) è parallelo a \(\pi\), allora è ortogonale a \(\vec s \), ovvero:
\[ \left \langle \vec v ; \vec s \right \rangle = 0 \]
Mettendo insieme queste tre condizioni, otteniamo il sistema lineare:
\[ \begin{cases} a + (1-h) b-hc = 1, \\ hb - hc = -1, \\ -b + hc = 0 \end{cases} \]
che, risolto, dà le componenti di \(\vec v\) al variare di \(h \).

[AstaLaVista1]

Ti ringrazio tante per la risposta, per concludere l'esercizio ho proceduto in questo modo :

Ho verificato la compatibilità del sistema al variare di $h$ e ho trovato che : per $h$ $!= 0$ e $h$ $!= 1$ rango della matrice completa e incompleta coincidono (è massimo e quindi $3$), mentre proprio per $h=0$ e $h=1$ i ranghi non coincidono (in entrambi i casi per la matrice incompleta è $1$).
Quindi mi sono limitato a considerare per un $h=-1$ le soluzioni del sistema, e ho trovato che $x=1/2$,$y=1/2$,$z=-1/2$.

L'esercizio può ritenersi concluso?