Prodotto scalare
Ciao 
Non ho capito una cosa, mi potreste aiutare?
Sia $V$ un $K - s p a z i o$ vettoriale.
Definisco $*:VtimesV->K$ definito come $v*w=|v||w|cos(theta)$
Ma non riesco a capire formalmente nè chi siano $|v|,|w|$ nè come si dimostri che si tratti di un prodotto scalare.
So soltanto che per conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwartz si ha;
$arccos((v*w)/(||v||*||w||))=vartheta$
Quindi so solo che $v*w=||v||*||w||cos(vartheta)$
Ovvero che il prodotto scalare eguaglia quella quantità.
Non ho capito una cosa, mi potreste aiutare?
Sia $V$ un $K - s p a z i o$ vettoriale.
Definisco $*:VtimesV->K$ definito come $v*w=|v||w|cos(theta)$
Ma non riesco a capire formalmente nè chi siano $|v|,|w|$ nè come si dimostri che si tratti di un prodotto scalare.
So soltanto che per conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwartz si ha;
$arccos((v*w)/(||v||*||w||))=vartheta$
Quindi so solo che $v*w=||v||*||w||cos(vartheta)$
Ovvero che il prodotto scalare eguaglia quella quantità.
Risposte
$|v| $ e$ |w|$ non sono altro che le norme dei vettori. Se hai un vettore del tipo $v=(1,0,2)$ la norma sarà data dalla radice della somma delle sue componenti al quadrato, ovvero $|v|= sqrt(1^2+0^2+2^2)=sqrt5$.
Per il prodotto scalare, esso è definito come un'operazione che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo reale stesso e da qui la relazione $v*w=|v||w|cos\theta$ dove $\theta$ è l'angolo convesso compreso tra i due vettori(quindi l'angolo più piccolo).
Per il prodotto scalare, esso è definito come un'operazione che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo reale stesso e da qui la relazione $v*w=|v||w|cos\theta$ dove $\theta$ è l'angolo convesso compreso tra i due vettori(quindi l'angolo più piccolo).
La definizione è mal posta. Chi è \(\theta\)? Chi sono \(|v|, |w|\)? Per definire queste cose in un contesto astratto ti serve proprio un prodotto scalare.
Probabilmente ti stai confondendo perché classicamente si definisce il prodotto scalare a partire da angoli e lunghezze. Nella geometria moderna si rovescia il punto di vista: si definisce il prodotto scalare (o la metrica Riemanniana, nei contesti non lisci) e a partire da quello si introducono angoli e lunghezze.
Probabilmente ti stai confondendo perché classicamente si definisce il prodotto scalare a partire da angoli e lunghezze. Nella geometria moderna si rovescia il punto di vista: si definisce il prodotto scalare (o la metrica Riemanniana, nei contesti non lisci) e a partire da quello si introducono angoli e lunghezze.
grazie per le risposte.
Sono a conoscenza della teoria sulle forme bilineari che mi permette di parlare di prodotti scalari.
Nel prodotto scalare $v*w=|v|*|w|cos(vartheta)$
So che $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori e $|v|$,$|w|$ sono le due norme.
Le cose che mi chiedo sono:
• quelle sue norme come sono definite?
• come si dimostra che tale applicazione è bilineare?
Sono a conoscenza della teoria sulle forme bilineari che mi permette di parlare di prodotti scalari.
Nel prodotto scalare $v*w=|v|*|w|cos(vartheta)$
So che $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori e $|v|$,$|w|$ sono le due norme.
Le cose che mi chiedo sono:
• quelle sue norme come sono definite?
• come si dimostra che tale applicazione è bilineare?
Non sono definite e l'applicazione non è ben definita, in generale. La formula
\[
v\cdot w = |v| |w| \cos \theta\]
ha senso come *definizione* del membro destro, una volta che il membro sinistro è assegnato. Ovvero, se sul tuo spazio vettoriale è assegnato un prodotto scalare \(\cdot\), allora puoi definire anche una "norma" o "lunghezza" tramite
\[
|v|^2:=v\cdot v, \]
e puoi definire un "angolo" tramite
\[
\cos \theta : = \frac{v\cdot w}{|v| |w|}.\]
Il percorso inverso, ovvero definire prima lunghezze e angoli e in termini di quelli il prodotto scalare, non si può fare (in modo naturale).
\[
v\cdot w = |v| |w| \cos \theta\]
ha senso come *definizione* del membro destro, una volta che il membro sinistro è assegnato. Ovvero, se sul tuo spazio vettoriale è assegnato un prodotto scalare \(\cdot\), allora puoi definire anche una "norma" o "lunghezza" tramite
\[
|v|^2:=v\cdot v, \]
e puoi definire un "angolo" tramite
\[
\cos \theta : = \frac{v\cdot w}{|v| |w|}.\]
Il percorso inverso, ovvero definire prima lunghezze e angoli e in termini di quelli il prodotto scalare, non si può fare (in modo naturale).
Perfetto quindi, per esempio, prendo uno spazio euclideo $(V,*)$ di $dimV=n$ e fisso una base di $V$
Prendo due vettori $vec(v)(x_1,...,x_n),vec(w)(y_1,...,y_n)$
Ovviamente posso calcolare $theta$ e $||*||$ avendo definito un prodotto scalare.
Adesso posso definire la quantità $v•w=|v|*|w|cos(theta)$ dove $•$ indica il nuovo prodotto scalare.
Pertanto,
1) tale prodotto scalare dipende fortemente da quello definito in precedenza? Tutto mi condurrebbe ad un si.
Per esempio se fisso $(RR^3,*)$ spazio euclideo con $*$ ps standard e base canonica fissata.
Prendo $v(0,1,0)$ e $w(0,sqrt3,1)$
Ottengo $|v|=1$,$|w|=2$ e $v*w=sqrt3$
Dunque $theta=arccos((v*w)/(|v|*|w|))=arccos(sqrt(3)/2)=pi/6$
Pertanto $v•w=sqrt3$ ovvero il loro 'nuovo' prodotto scalare.
2) come dimostro che tale nuovo prodotto scalare, è davvero un prodotto scalare?
Sul fatto che sia definito positivo, $forallv inV:v ne0,v•v=|v|^2cos(0)>0$
Però non mi viene in mente come dimostrare che sia bilineare.
Prendo due vettori $vec(v)(x_1,...,x_n),vec(w)(y_1,...,y_n)$
Ovviamente posso calcolare $theta$ e $||*||$ avendo definito un prodotto scalare.
Adesso posso definire la quantità $v•w=|v|*|w|cos(theta)$ dove $•$ indica il nuovo prodotto scalare.
Pertanto,
1) tale prodotto scalare dipende fortemente da quello definito in precedenza? Tutto mi condurrebbe ad un si.
Per esempio se fisso $(RR^3,*)$ spazio euclideo con $*$ ps standard e base canonica fissata.
Prendo $v(0,1,0)$ e $w(0,sqrt3,1)$
Ottengo $|v|=1$,$|w|=2$ e $v*w=sqrt3$
Dunque $theta=arccos((v*w)/(|v|*|w|))=arccos(sqrt(3)/2)=pi/6$
Pertanto $v•w=sqrt3$ ovvero il loro 'nuovo' prodotto scalare.
2) come dimostro che tale nuovo prodotto scalare, è davvero un prodotto scalare?
Sul fatto che sia definito positivo, $forallv inV:v ne0,v•v=|v|^2cos(0)>0$
Però non mi viene in mente come dimostrare che sia bilineare.
Stai girando in tondo. Provo a risponderti con una domanda. Nello spazio $(V, \cdot)$ che hai introdotto, come definisci \(\cos \theta\)?
In tal maniera: $(v*w)/(|v|*|w|)$
Quindi, per definizione,
\[
v\cdot w = |v| |w| \cos \theta.\]
Vedi quindi che porre \(v\bullet w = |v| |w| \cos \theta\) non definisce niente di nuovo: \(\bullet = \cdot\).
\[
v\cdot w = |v| |w| \cos \theta.\]
Vedi quindi che porre \(v\bullet w = |v| |w| \cos \theta\) non definisce niente di nuovo: \(\bullet = \cdot\).
Forse ho preso una bella cantonata.
Quindi per dimostrare che sia un prodotto scalare mi basta ricordare che $*$ lo sia.
Ovvero $(v+u)*w = v*w+u*w=|v|*|w|cos(alpha)+|u|*|w|cos(beta)$
Dove la prima uguaglianza è data dal fatto che $*$ sia già un prodotto scalare e 'la quantità a destra sappiamo che lo eguaglia'.
Forse era questa semplice frase sulla quale mi sarei dovuto soffermare di più.
Quindi per dimostrare che sia un prodotto scalare mi basta ricordare che $*$ lo sia.
Ovvero $(v+u)*w = v*w+u*w=|v|*|w|cos(alpha)+|u|*|w|cos(beta)$
Dove la prima uguaglianza è data dal fatto che $*$ sia già un prodotto scalare e 'la quantità a destra sappiamo che lo eguaglia'.
Forse era questa semplice frase sulla quale mi sarei dovuto soffermare di più.
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