Prodotto scalare
Salve a tutti. Ho trovato un problema che non riesco a risolvere:
Determinare, se esiste, una base di R^2 tale che la matrice associata al prodotto scalare standard coincida con $ A=( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $
Ho pensato di porre $ I=N^tAN $
Con N matrice del cambiamento di base da quella canonica a quella incognita. Senza risolvere un sistema (cosa fattibile in R^2, ma già meno in R^3), come posso trovare N?
Io avrei pensato di trovare una particolare matrice ortogonale, cioè ponendo che:
$ I=N^tAN $
Forse potrei normalizzare rispetto ad un nuovo prodotto scalare definito da $ g(x,y)=x^tAy $ , ovvero ottenendo
$ N=( ( 1 , 0 ),( 0 , 1/sqrt2 ) ) $
Ma in generale?
Grazie
Determinare, se esiste, una base di R^2 tale che la matrice associata al prodotto scalare standard coincida con $ A=( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $
Ho pensato di porre $ I=N^tAN $
Con N matrice del cambiamento di base da quella canonica a quella incognita. Senza risolvere un sistema (cosa fattibile in R^2, ma già meno in R^3), come posso trovare N?
Io avrei pensato di trovare una particolare matrice ortogonale, cioè ponendo che:
$ I=N^tAN $
Forse potrei normalizzare rispetto ad un nuovo prodotto scalare definito da $ g(x,y)=x^tAy $ , ovvero ottenendo
$ N=( ( 1 , 0 ),( 0 , 1/sqrt2 ) ) $
Ma in generale?
Grazie
Risposte
Potresti semplicemente pensare alla definizione di matrice associata ad un prodotto scalare e ricavarti direttamente la base. Una base \(\displaystyle \mathbf{f}=\{\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2\} \) che dia \(\displaystyle A \) come matrice associata al prodotto scalare standard è tale che
\(\displaystyle \langle\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_1\rangle=1 \)
\(\displaystyle \langle\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2\rangle=\langle\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_1\rangle=0 \)
\(\displaystyle \langle\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_2\rangle=2\)
Prendendo \(\displaystyle \mathbf{f}_1=\mathbf{e}_1 \) (primo vettore della base canonica) e \(\displaystyle \mathbf{f}_2\in\mathbf{e}_1^{\bot}=\langle\mathbf{e}_2\rangle \) trovo che deve essere \(\displaystyle \mathbf{f}_2=\begin{bmatrix}0\\\sqrt{2}\end{bmatrix} \) affinché \(\displaystyle \langle\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_2\rangle=2\).
Quindi la base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) tale che abbia matrice associata al prodotto scalare standard uguale ad \(\displaystyle A \) è data da \(\displaystyle \mathbf{f} \).
\(\displaystyle \langle\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_1\rangle=1 \)
\(\displaystyle \langle\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2\rangle=\langle\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_1\rangle=0 \)
\(\displaystyle \langle\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_2\rangle=2\)
Prendendo \(\displaystyle \mathbf{f}_1=\mathbf{e}_1 \) (primo vettore della base canonica) e \(\displaystyle \mathbf{f}_2\in\mathbf{e}_1^{\bot}=\langle\mathbf{e}_2\rangle \) trovo che deve essere \(\displaystyle \mathbf{f}_2=\begin{bmatrix}0\\\sqrt{2}\end{bmatrix} \) affinché \(\displaystyle \langle\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_2\rangle=2\).
Quindi la base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) tale che abbia matrice associata al prodotto scalare standard uguale ad \(\displaystyle A \) è data da \(\displaystyle \mathbf{f} \).
Perfetto. Grazie
Ma se la matrice non fosse diagonale e definisse un prodotto scalare positivo?
Ma se la matrice non fosse diagonale e definisse un prodotto scalare positivo?
Se non ho capito male la tua domanda è "data una matrice simmetrica $A$ con autovalori tutti positivi rispetto a quale base $\mathbf{f}$ essa rappresenta il prodotto scalare standard". Diciamo che è un problema inverso a quello classico di trovare una base ortonormale diagonalizzante. Con queste ipotesi una tale base esiste sicuramente in quanto $I$ e $A$ (simmetrica) hanno la stessa segnatura e quindi sono congruenti (rappresentano lo stesso prodotto scalare rispetto a due basi diverse).
Potresti considerare che conoscere gli $\mathbf{f}_i$ equivale a conoscerne le componenti relativamente alla base $\mathbf{e}$. Cioè
$\mathbf{f}_i=\sum_{k=1}^nx_{i,k}\mathbf{e}_k$
considerando che
$\langle\mathbf{f}_i,\mathbf{f}_j\rangle=\langle\sum_{k=1}^nx_{i,k}\mathbf{e}_k,\sum_{h=1}^nx_{j,h}\mathbf{e}_h\rangle=\sum_{k,h}x_{i,k}x_{j,h}\langle\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_h\rangle$
e che
$\langle\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_h\rangle=\delta_{k,h}$
si trova che
$\langle\mathbf{f}_i,\mathbf{f}_j\rangle=\sum_{k=1}^nx_{i,k}x_{j,k}$.
Dato che i valori $\langle\mathbf{f}_i,\mathbf{f}_j\rangle$ sono quelli all'interno della matrice $A$ puoi pensare di impostare un sistema e ricavarti i valori delle componenti.
Potresti considerare che conoscere gli $\mathbf{f}_i$ equivale a conoscerne le componenti relativamente alla base $\mathbf{e}$. Cioè
$\mathbf{f}_i=\sum_{k=1}^nx_{i,k}\mathbf{e}_k$
considerando che
$\langle\mathbf{f}_i,\mathbf{f}_j\rangle=\langle\sum_{k=1}^nx_{i,k}\mathbf{e}_k,\sum_{h=1}^nx_{j,h}\mathbf{e}_h\rangle=\sum_{k,h}x_{i,k}x_{j,h}\langle\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_h\rangle$
e che
$\langle\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_h\rangle=\delta_{k,h}$
si trova che
$\langle\mathbf{f}_i,\mathbf{f}_j\rangle=\sum_{k=1}^nx_{i,k}x_{j,k}$.
Dato che i valori $\langle\mathbf{f}_i,\mathbf{f}_j\rangle$ sono quelli all'interno della matrice $A$ puoi pensare di impostare un sistema e ricavarti i valori delle componenti.
Ottimo. Grazie
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