Prodotto matrici di versori
Sia $R$ la matrice con componenti i prodotti scalari dei versori di due terne $\hat i, \hat j, \hat k$ e $\hat i', \hat j', \hat k'$.
$R=((\hat i'*\hat i, \hat j'*\hat i, \hat k'*\hat i), (\hat i'*\hat j, \hat j'*\hat j, \hat k'*\hat j), (\hat i'*\hat k, \hat j'*\hat k, \hat k'*\hat k))$
Verificare che $\text_R*R^T=1$
Io ho provato a svolgere i calcoli ma mi viene la matrice identità moltiplicata per 3.
Ad esempio, la prima componente è:
$(\hat i'*\hat i)*(\hat i'*\hat i)+(\hat j'*\hat i)*(\hat j'*\hat i)+(\hat k'*\hat i)*(\hat k'*\hat i) = (\hat i'*\hat i')*(\hat i*\hat i)+(\hat j'*\hat j')*(\hat i*\hat i)+(\hat k'*\hat k')*(\hat i*\hat i) = 1+1+1=3$
Riuscite a capire dove sbaglio? Grazie mille
$R=((\hat i'*\hat i, \hat j'*\hat i, \hat k'*\hat i), (\hat i'*\hat j, \hat j'*\hat j, \hat k'*\hat j), (\hat i'*\hat k, \hat j'*\hat k, \hat k'*\hat k))$
Verificare che $\text_R*R^T=1$
Io ho provato a svolgere i calcoli ma mi viene la matrice identità moltiplicata per 3.
Ad esempio, la prima componente è:
$(\hat i'*\hat i)*(\hat i'*\hat i)+(\hat j'*\hat i)*(\hat j'*\hat i)+(\hat k'*\hat i)*(\hat k'*\hat i) = (\hat i'*\hat i')*(\hat i*\hat i)+(\hat j'*\hat j')*(\hat i*\hat i)+(\hat k'*\hat k')*(\hat i*\hat i) = 1+1+1=3$
Riuscite a capire dove sbaglio? Grazie mille
Risposte
Intendi $R R^T=I$, dove $I$ è la matrice identità?
Io direi che $(\hat j'*\hat i)=0$; $(\hat k'*\hat i)=0$ in quanto sono ortogonali e quindi il loro prodotto scalare è nullo.
"melli13":
$ (\hat i'*\hat i)*(\hat i'*\hat i)+(\hat j'*\hat i)*(\hat j'*\hat i)+(\hat k'*\hat i)*(\hat k'*\hat i) =$
Io direi che $(\hat j'*\hat i)=0$; $(\hat k'*\hat i)=0$ in quanto sono ortogonali e quindi il loro prodotto scalare è nullo.
Si intendo la matrice identità (insomma dimostrare che R è ortogonale).
Come fai a dire che il prodotto scalare è nullo? Sono due terne diverse. Se non c'era l'apice ero d'accordo. Ti ringrazio se ti va di spigarmi meglio
Come fai a dire che il prodotto scalare è nullo? Sono due terne diverse. Se non c'era l'apice ero d'accordo. Ti ringrazio se ti va di spigarmi meglio
Era un'ipotesi la mia 
Non specifica null'altro sulle due terne?
Non specifica null'altro sulle due terne?
No 
Io cambierei notazione, indicando le due terne ortonormali con $e_1, e_2, e_3$ e $e'_1, e'_2, e'_3$. Così puoi scrivere
\[
e'_i=\sum_{k} R_{ik} e_k
\]
dove \(R_{ij}\) è una matrice (di cambio di coordinate). Da qui calcolare la matrice \(e'_i\cdot e_j\) dovrebbe essere più semplice.
\[
e'_i=\sum_{k} R_{ik} e_k
\]
dove \(R_{ij}\) è una matrice (di cambio di coordinate). Da qui calcolare la matrice \(e'_i\cdot e_j\) dovrebbe essere più semplice.
Non capisco. R è proprio la mia matrice di passaggio dalle coordinate della terna $O, \hat i', \hat j', \hat k'$ a quelle della terna $O, \hat i, \hat j, \hat k$.
Mi stai dicendo di studiare una matrice con componenti un'altra matrice? Grazie
Mi stai dicendo di studiare una matrice con componenti un'altra matrice? Grazie
Le componenti della matrice \(R_{ij}\) sono degli scalari. Se calcoli la matrice \(e_i\cdot e'_j\) ti verrà fuori proprio la matrice \(R_{ij}\).
Si tratta quindi di stabilire se la matrice di cambiamento di coordinate da una base ortonormale ad un'altra base ortonormale è una matrice ortogonale.
Si tratta quindi di stabilire se la matrice di cambiamento di coordinate da una base ortonormale ad un'altra base ortonormale è una matrice ortogonale.
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