Prodotto interno e sottospazi vettoriali
Buongiorno a tutti, sono sempre io 
questo esame mi sta uccidendo.
Nel compito d'esame c'era un esercizio in cui $ V=\mathcal(Mat_(3)(mathbb(C) ) ) $ con il prodotto interno $ Vxx Vrarr mathbb(C) $ definito da $ < A,B> = tr(AB^** ) $ dove $ B^** $ è la trasposta della coniugata. Sia W il sottospazio di V delle matrici triangolari superiori e Z il sottopsazio di V delle matrici trinagolari inferiori, si determinino le dimensioni di $ W^_|_ $ e $ Z^_|_ $ e si scriva una base per ciascuno di essi.
Ora, se io prendo due matrici generiche A e B, e calcolo $ B^** $, poi non riesco a capire come procedere dai sottospazi W e Z per calcolare le dimensioni dei complementi ortogonali.
questo esame mi sta uccidendo.Nel compito d'esame c'era un esercizio in cui $ V=\mathcal(Mat_(3)(mathbb(C) ) ) $ con il prodotto interno $ Vxx Vrarr mathbb(C) $ definito da $ < A,B> = tr(AB^** ) $ dove $ B^** $ è la trasposta della coniugata. Sia W il sottospazio di V delle matrici triangolari superiori e Z il sottopsazio di V delle matrici trinagolari inferiori, si determinino le dimensioni di $ W^_|_ $ e $ Z^_|_ $ e si scriva una base per ciascuno di essi.
Ora, se io prendo due matrici generiche A e B, e calcolo $ B^** $, poi non riesco a capire come procedere dai sottospazi W e Z per calcolare le dimensioni dei complementi ortogonali.
Risposte
Inizia scrivendo a cosa corrisponde \(W^\perp\) e come puoi rappresentarlo equazionalmente. Magari è una buona idea capire chi è questo sottospazio quando $V$ sono le matrici $2\times 2$, e non $3\times 3$: forse funziona in maniera simile in ogni dimensione 
Pensavo che $ W^_|_ $ fosse il complemento ortogonale tale che $ tr(AB^**)=0 $ . Poi però non so come andare avanti... 
Allora, se W⊥ è il complemento ortogonale tale che tr(AB∗)=0, prendo $ A=( ( a11 , a12 , a13 ),( 0, a22 , a23 ),( 0 , 0 , a33 ) ) $ e $ B=( ( -b11 , -b21 , -b31 ),( 0, -b22 , -b32 ),( 0 , 0 , -b33 ) ) $ . Ne faccio il prodotto $ AB^**=( ( -b11a11 , -b12a11-b22a12 , -b31a11-b32a12-b33a13 ),( 0, -b22a22 , -b32a22-b33a23 ),( 0 , 0 , -b33a33 ) ) $. $ ( ( -b11a11 , -b12a11-b22a12 , -b31a11-b32a12-b33a13 ),( 0, -b22a22 , -b32a22-b33a23 ),( 0 , 0 , -b33a33 ) )({: ( x ),( y ),( z ) :}) $ ottengo che x=0; y=0;z=0. Quindi W⊥={0} e una base è il vettore nullo?
Qualcuno mi pò aiutare? 
C'è qualcuno che riesce a darmi qualche risposta su questo esercizio?
Ci sono molte cose sbagliate nel modo in cui hai pseudo-risolto questo esercizio: $B$ non è triangolare, a priori, e quando ne fai la trasposta coniugata non devi semplicemente cambiare segno... devi coniugare ciascuno dei suoi ingressi. In generale, non sembri avere molto chiara la definizione di ortogonale di un sottospazio.
Fatto qualche conto, se $A\in W$ e $B \in M_3(CC)$, quel che ti viene chiesto è di descrivere il sottospazio delle matrici $B$ (sono generiche matrici complesse 3x3) tali che
\[ a_{1,1}\bar b_{1,1}+a_{2,1}\bar b_{1,2}+a_{3,1}\bar b_{1,3}+a_{2,2}\bar b_{2,2}+a_{3,2}
\bar b_{2,3}+a_{3,3}\bar b_{3,3} =0\] per ogni matrice $A = (a_{ij})$ triangolare superiore. Del resto, queste sono condizioni lineari sui coefficienti di $B$, e ci sono matrici speciali (che hanno $0$ ovunque, e $1$ in un solo posto sopra la diagonale) che ti danno condizioni specifiche sugli ingressi di $B$. Riesci a scrivere quali? E quindi quali matrici ti interessano?
Fatto qualche conto, se $A\in W$ e $B \in M_3(CC)$, quel che ti viene chiesto è di descrivere il sottospazio delle matrici $B$ (sono generiche matrici complesse 3x3) tali che
\[ a_{1,1}\bar b_{1,1}+a_{2,1}\bar b_{1,2}+a_{3,1}\bar b_{1,3}+a_{2,2}\bar b_{2,2}+a_{3,2}
\bar b_{2,3}+a_{3,3}\bar b_{3,3} =0\] per ogni matrice $A = (a_{ij})$ triangolare superiore. Del resto, queste sono condizioni lineari sui coefficienti di $B$, e ci sono matrici speciali (che hanno $0$ ovunque, e $1$ in un solo posto sopra la diagonale) che ti danno condizioni specifiche sugli ingressi di $B$. Riesci a scrivere quali? E quindi quali matrici ti interessano?
"killing_buddha":
Ci sono molte cose sbagliate nel modo in cui hai pseudo-risolto questo esercizio: $B$ non è triangolare, a priori, e quando ne fai la trasposta coniugata non devi semplicemente cambiare segno... devi coniugare ciascuno dei suoi ingressi. In generale, non sembri avere molto chiara la definizione di ortogonale di un sottospazio.
Fatto qualche conto, se $A\in W$ e $B \in M_3(CC)$, quel che ti viene chiesto è di descrivere il sottospazio delle matrici $B$ (sono generiche matrici complesse 3x3) tali che
\[ a_{1,1}\bar b_{1,1}+a_{2,1}\bar b_{1,2}+a_{3,1}\bar b_{1,3}+a_{2,2}\bar b_{2,2}+a_{3,2}
\bar b_{2,3}+a_{3,3}\bar b_{3,3} =0\] per ogni matrice $A = (a_{ij})$ triangolare superiore. Del resto, queste sono condizioni lineari sui coefficienti di $B$, e ci sono matrici speciali (che hanno $0$ ovunque, e $1$ in un solo posto sopra la diagonale) che ti danno condizioni specifiche sugli ingressi di $B$. Riesci a scrivere quali? E quindi quali matrici ti interessano?
Ok, quindi se prendo la base canonica data da { $ ( ( 1 , 0,0),( 0,0,0 ),( 0,0,0 ) ) $ , $ ( ( 0, 1,0),( 0,0,0 ),( 0,0,0 ) ) $ ... e cosi via } e applico il prodoftto scalare definito sopra tutti i bi coniugati sono uguali a 0.
È giusto così? Cioè il complemento ortogonale è nullo?
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