Prodotto fra norme matriciali
A lezione ci è stata (ri)definita la norma di una matrice come quella applicazione da uno spazio di matrici (quindi aggiungo io $K^(n*m)$) a $\R^+ uu {0}$ che soddisfa i tre assiomi ben noti delle norme più un quarto:
nell'ipotesi che $A$ e $B$ siano moltiplicabili allora deve valere
$||A*B|| <= ||A||*||B||$
ovvero la sub-moltiplicabilità
Siccome stiamo parlando di una sola norma mi pare necessario richiedere che A e B siano quadrate, se no starei mescolando nella definizione delle norme diverse
a questo punto ha fatto una cosa che non mi torna affatto
ha detto:
quindi prese $A$ e $B$ due matrici rispettivamente $\R^(n*m) $ e $ \R^(m*h) $, allora la matrice prodotto A*B ha norma
$||A*B|| <= ||A||*||B||$
Ora, nonostante il prof l'abbia buttata li' come se fosse il terzo assioma, è evidente che non lo è
Sto quindi cercando il modo più elengante possibile di riscrivere la cosa nei miei appunti in maniera che risulti quantomeno corretta
Consigli?
nell'ipotesi che $A$ e $B$ siano moltiplicabili allora deve valere
$||A*B|| <= ||A||*||B||$
ovvero la sub-moltiplicabilità
Siccome stiamo parlando di una sola norma mi pare necessario richiedere che A e B siano quadrate, se no starei mescolando nella definizione delle norme diverse
a questo punto ha fatto una cosa che non mi torna affatto
ha detto:
quindi prese $A$ e $B$ due matrici rispettivamente $\R^(n*m) $ e $ \R^(m*h) $, allora la matrice prodotto A*B ha norma
$||A*B|| <= ||A||*||B||$
Ora, nonostante il prof l'abbia buttata li' come se fosse il terzo assioma, è evidente che non lo è
Sto quindi cercando il modo più elengante possibile di riscrivere la cosa nei miei appunti in maniera che risulti quantomeno corretta
Consigli?
Risposte
Credo che sia solo una questione di indici: indica con $\||\cdot\||_{n,m}$ la norma di matrici associata a $K^{n,m}$. Allora dovresti chiederti: è vero che se $A\in K^{n,m},\ B\in K^{m,k}$ allora
$\||A\cdot B\||_{n,k}\le \||A\||_{n,m}\cdot\||B\||_{m,k}$?
$\||A\cdot B\||_{n,k}\le \||A\||_{n,m}\cdot\||B\||_{m,k}$?
avevo pensato di tentare di dimostrare una cosa del genere
ma questa non è il quarto assioma comunque giusto?
a parte ciò, non riesco a dimostrare una cosa del genere usando semlicemente gli assiomi.
$||A||>=0 AA A \and ||A||=0 iff A=0 $ mi pare inutile
$||\lambda A||=|\lambda|||A||$ altrettanto
la disuguaglianza triangolare tanto meno
e il quarto assioma non ha senso definirlo perchè si suppone in generale le matrici non quadrate
un aiutino?
ma questa non è il quarto assioma comunque giusto?
a parte ciò, non riesco a dimostrare una cosa del genere usando semlicemente gli assiomi.
$||A||>=0 AA A \and ||A||=0 iff A=0 $ mi pare inutile
$||\lambda A||=|\lambda|||A||$ altrettanto
la disuguaglianza triangolare tanto meno
e il quarto assioma non ha senso definirlo perchè si suppone in generale le matrici non quadrate
un aiutino?
Ma cosa vuoi dimostrare, se in mano non hai niente? Qui evidentemente il professore è andato un po' leggerino, ma comunque gli assiomi che ha dato sono i minimi possibili. Non puoi dimostrare \(\lVert AB\rVert \le \lVert A\rVert \lVert B\rVert\) partendo dagli altri assiomi, ora non mi ricordo esattamente ma si possono costruire degli esempi, prova a guardare su Metodi numerici per l'algebra lineare di Bini-Capovani-Menchi.
E poi non ti fissare troppo. Fra poco vedrai che nelle applicazioni (ma pure nella teoria) le norme di matrice che si usano sono solo quelle indotte, per le quali è ovvio osservare che verificano la relazione in questione.
E poi non ti fissare troppo. Fra poco vedrai che nelle applicazioni (ma pure nella teoria) le norme di matrice che si usano sono solo quelle indotte, per le quali è ovvio osservare che verificano la relazione in questione.
nono queste cose le so già (noi controllisti usiamo sovente anche norma di frobenius)
Vorrei solo avere degli appunti formalmente corretti, per cui se, prese delle matrici di dimensione qualunque moltiplicabili scrivo:
$|||A*B|||<=|||A|||*|||B|||$
vorrei poter quantomeno dire se la cosa in generale vale o meno, e come mai questo vale
siccome come dici tu il prof ci è andato "leggerino", volevo ricavare le motivazioni tralasciate da lui per conto mio
Quindi mi confermi che una cosa di questo tipo va dimostrata prodotto per prodotto?
Oppure si può dimostrarlo per norme indotte in generale?
Vorrei solo avere degli appunti formalmente corretti, per cui se, prese delle matrici di dimensione qualunque moltiplicabili scrivo:
$|||A*B|||<=|||A|||*|||B|||$
vorrei poter quantomeno dire se la cosa in generale vale o meno, e come mai questo vale
siccome come dici tu il prof ci è andato "leggerino", volevo ricavare le motivazioni tralasciate da lui per conto mio
Quindi mi confermi che una cosa di questo tipo va dimostrata prodotto per prodotto?
Oppure si può dimostrarlo per norme indotte in generale?
Infatti non è detto che valga. Devi richiederlo a priori. Se la norma di matrice è indotta da una di vettore vale automaticamente. Se parli di matrici di dimensione qualunque e non quadrate è un po' più scocciante da dimostrare, perché se vuoi essere formalmente preciso devi indicare con tre nomi diversi le tre norme che compaiono in
\[\tag{1} \lVert AB\rVert \le \lVert A \rVert \lVert B\rVert\]
e ognuna sarà indotta da una diversa norma di vettore: chiaro, perché ad esempio la norma \(\lVert \cdot \rVert_2\) su \(\mathbb{C}^2\) non è la stessa cosa che la norma \(\lVert \cdot \rVert_2\) su \(\mathbb{C}^3\), il che rende fastidoso formalizzare il tutto. Ma sicuramente la (1) sarà vera, con ipotesi opportune.
Però io non ci perderei tempo, questa storia della dimensione qualunque è un po' fuorviante.
\[\tag{1} \lVert AB\rVert \le \lVert A \rVert \lVert B\rVert\]
e ognuna sarà indotta da una diversa norma di vettore: chiaro, perché ad esempio la norma \(\lVert \cdot \rVert_2\) su \(\mathbb{C}^2\) non è la stessa cosa che la norma \(\lVert \cdot \rVert_2\) su \(\mathbb{C}^3\), il che rende fastidoso formalizzare il tutto. Ma sicuramente la (1) sarà vera, con ipotesi opportune.
Però io non ci perderei tempo, questa storia della dimensione qualunque è un po' fuorviante.
si' certo il mio problema era quello fin dall'inizio: sapere se si può dimostrare in generale, e sotto quali ipotesi, che vale quella disuguaglianza fra matrici di dimensione diversa, che come dici ammettano diverse norme.
perchè la giudichi fuoriviante?
perchè la giudichi fuoriviante?
Non mi sono spiegato. Dunque, quella disuguaglianza in genere non è una cosa che "si dimostra", è un assioma e basta. Questo conclude il caso generale.
Nel caso particolare di norme indotte, allora ci possiamo porre il problema. Come dicevo, io penso che la disuguaglianza sia vera in molti casi di interesse: ad esempio se \(A \in \mathbb{C}^{n\times m}, B \in \mathbb{C}^{m \times k}\) e dotiamo tutti e tre gli spazi \(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m, \mathbb{C}^k\) della norma euclidea, allora la disuguaglianza sarà certamente vera se \(\lVert A \rVert, \lVert B\rVert\) denotano le corrispondenti norme indotte.
Il problema è che mi pare un po' fastidioso (e poco utile) generalizzare questo risultato.
Nel caso particolare di norme indotte, allora ci possiamo porre il problema. Come dicevo, io penso che la disuguaglianza sia vera in molti casi di interesse: ad esempio se \(A \in \mathbb{C}^{n\times m}, B \in \mathbb{C}^{m \times k}\) e dotiamo tutti e tre gli spazi \(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m, \mathbb{C}^k\) della norma euclidea, allora la disuguaglianza sarà certamente vera se \(\lVert A \rVert, \lVert B\rVert\) denotano le corrispondenti norme indotte.
Il problema è che mi pare un po' fastidioso (e poco utile) generalizzare questo risultato.
non capisco perchè ti paia fastidioso... A me pare fastidioso dare per scontato qualcosa di non dimostrato
il punto è che definitia una norma su tre spazi matriciali, non mi pare corretto dare per assioma una cosa del genere, che avendo dato una definizione precisa potrebbe entrare in contrasto con essa
se poi intendi di darlo come assioma a priori anche qua la cosa non mi piace molto... Perchè comunque ogni volta che definisco una norma dovrei dimostrare che vale tale disuguaglianza con ogni altra norma esistente, il che mi pare sia piuttosto faticoso, sia teoricamente sbagliato visto che a questo punto si farebbe dipendere la definizione di una norma dalal definizione di ogni altra norma, anche non ancora "scoperta"
ma probabilmente sto sbagliando qualcosa...
il punto è che definitia una norma su tre spazi matriciali, non mi pare corretto dare per assioma una cosa del genere, che avendo dato una definizione precisa potrebbe entrare in contrasto con essa
se poi intendi di darlo come assioma a priori anche qua la cosa non mi piace molto... Perchè comunque ogni volta che definisco una norma dovrei dimostrare che vale tale disuguaglianza con ogni altra norma esistente, il che mi pare sia piuttosto faticoso, sia teoricamente sbagliato visto che a questo punto si farebbe dipendere la definizione di una norma dalal definizione di ogni altra norma, anche non ancora "scoperta"
ma probabilmente sto sbagliando qualcosa...
Fai confusione sulle basi. Allora proviamo a formalizzare la definizione.
Definizione Siano \(n, m , k\) interi. Denotiamo con \(\lVert \cdot \rVert_{n \times m}, \lVert \cdot \rVert_{m \times k}, \lVert \cdot \rVert_{n \times k}\) tre applicazioni definite in \(\mathbb{C}^{n \times m}, \mathbb{C}^{m \times k}, \mathbb{C}^{n \times k}\) rispettivamente e a valori reali non negativi. Diremo che esse sono norme matriciali se verificano le seguenti proprietà:
1) (positività e non degenerazione);
2) (omogeneità);
3) (disuguaglianza triangolare);
4) \(\lVert A B\rVert_{n \times k} \le \lVert A\rVert_{n \times m}\lVert B \rVert_{m \times k}\) per ogni \(A \in \mathbb{C}^{n \times m}, B \in \mathbb{C}^{m \times k}.\)
Ecco qua una possibile definizione di "norma matriciale" nel caso non quadrato. Come vedi c'è il fastidio di avere definito, in realtà, tre norme e non una.
A questo punto non c'è nulla da dimostrare, è solo una definizione. Chiaramente ti può venire in mente l'idea: se prendo spazi \(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m, \mathbb{C}^k\), ciascuno dotato di una sua norma, tramite essi posso definire "norme matriciali indotte"su \(\mathbb{C}^{n \times m}, \mathbb{C}^{m \times k}, \mathbb{C}^{n \times k}\). Queste applicazioni verificano certamente le proprietà 1-3 della def. precedente. Ma verificheranno anche la 4?
Ora, ti dirò, non ci ho mai pensato. Ho paura che la risposta, in generale, sia no: deve essere verificata qualche condizione di compatibilità tra le tre norme vettoriali, in qualche modo. Nelle applicazioni ho incontrato sempre e solo norme di matrici quadrate, quindi non ci ho fatto caso.
Definizione Siano \(n, m , k\) interi. Denotiamo con \(\lVert \cdot \rVert_{n \times m}, \lVert \cdot \rVert_{m \times k}, \lVert \cdot \rVert_{n \times k}\) tre applicazioni definite in \(\mathbb{C}^{n \times m}, \mathbb{C}^{m \times k}, \mathbb{C}^{n \times k}\) rispettivamente e a valori reali non negativi. Diremo che esse sono norme matriciali se verificano le seguenti proprietà:
1) (positività e non degenerazione);
2) (omogeneità);
3) (disuguaglianza triangolare);
4) \(\lVert A B\rVert_{n \times k} \le \lVert A\rVert_{n \times m}\lVert B \rVert_{m \times k}\) per ogni \(A \in \mathbb{C}^{n \times m}, B \in \mathbb{C}^{m \times k}.\)
Ecco qua una possibile definizione di "norma matriciale" nel caso non quadrato. Come vedi c'è il fastidio di avere definito, in realtà, tre norme e non una.
A questo punto non c'è nulla da dimostrare, è solo una definizione. Chiaramente ti può venire in mente l'idea: se prendo spazi \(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m, \mathbb{C}^k\), ciascuno dotato di una sua norma, tramite essi posso definire "norme matriciali indotte"su \(\mathbb{C}^{n \times m}, \mathbb{C}^{m \times k}, \mathbb{C}^{n \times k}\). Queste applicazioni verificano certamente le proprietà 1-3 della def. precedente. Ma verificheranno anche la 4?
Ora, ti dirò, non ci ho mai pensato. Ho paura che la risposta, in generale, sia no: deve essere verificata qualche condizione di compatibilità tra le tre norme vettoriali, in qualche modo. Nelle applicazioni ho incontrato sempre e solo norme di matrici quadrate, quindi non ci ho fatto caso.
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