Prodotto esterno tensori: definizioni varie
Innanzitutto volevo ringraziare nuovamente killing_buddha e j18eos per avermi consigliato le dispense del Prof. Candilera e lo Spivak.
Definiamo l'applicazione \(\text{Alt}:\mathcal{T}^r (\mathbf{V}^{\breve{}})\to\wedge ^{r}\mathbf{V}^{\breve{}} \), come fa il testo che sto seguendo io, il Sernesi, per ogni $r$-tensore \(F\in\mathcal{T}^r (\mathbf{V}^{\breve{}})\), nel modo seguente:\[\text{Alt}(F)=\frac{1}{r!}\sum_{\pi\in\sigma_r} \epsilon(\pi) F^{\pi}\](dove \(\pi\in\sigma_r\) è ogni permutazione su \(\{1,...,r\}\) ed \(\epsilon(\pi)\) il suo segno) cioè, esplicitamente, per ogni \((\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r)\in\mathbf{V}^r\)\[\text{Alt}(F)(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r)=\frac{1}{r!}\sum_{\pi\in\sigma_r} \epsilon(\pi) F(\mathbf{v}_{\pi(1)},...,\mathbf{v}_{\pi(r)})\]Noto che, mentre il Sernesi definisce nel paragrafo 40 il prodotto esterno tra tensori alterni come \(F\wedge G=\text{Alt}(F\otimes G)\), altri autori utilizzano definizioni alternative di tale prodotto che portano, chiamando \(\{\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n\}\) la base di uno spazio vettoriale e \(\{x_1,...,x_n\}\) la base duale, ad avere invece\[ x_{i_1}\wedge...\wedge x_{i_r} (\mathbf{e}_{j_1},...,\mathbf{e}_{j_r}) = \begin{cases}±1&\text{se }J\text{ è una permutazione di }I\\0&\text{altrimenti}\end{cases} \]come lo Spivak che definisce per \(F\in\wedge ^{r}\mathbf{V}^{\breve{}}\) e \(G\in\wedge ^{s}\mathbf{V}^{\breve{}}\)\[F\wedge G=\frac{(r+s)!}{r!s!}\text{Alt}(F\otimes G)\]o il Candilera che mi pare che (conservando la definizione di \(\text{Alt}\) del Sernesi) utilizzi una definizione di prodotto esterno\[F\wedge G=(r+s)! \text{Alt}(F\otimes G)\]
Adottando una di queste definizioni di prodotto esterno mi torna il conto dell'espressione dei coefficienti di una forma differenziale per cui avevo già scritto in questo forum e riesco a dare un senso alle forme di volume usate dal Sernesi che mi hanno tormentato tanto perché non vedevo per che motivo sparisse il fattoriale: quindi mi sono convinto che, nei paragrafi 42 e 43, il prodotto esterno usato dal Sernesi non sia proprio identico a quello definito nel paragrafo 40
, ma sia piuttosto quello dello Spivak oppure del Candilera ed ho visto per la rete -'sto problema mi ha tenuto sveglio sul computer fino alle tre del mattino- che anche altri autori usano questi prodotti "leggermente" diversi da quello del § 40 del Sernesi! Lo Spivak dice oltretutto esplicitamente che ci sono modi alternativi di definire \(F\wedge G\).
Se dico scemenze sarò $\infty$-mente grato a chi me lo facesse notare...
Definiamo l'applicazione \(\text{Alt}:\mathcal{T}^r (\mathbf{V}^{\breve{}})\to\wedge ^{r}\mathbf{V}^{\breve{}} \), come fa il testo che sto seguendo io, il Sernesi, per ogni $r$-tensore \(F\in\mathcal{T}^r (\mathbf{V}^{\breve{}})\), nel modo seguente:\[\text{Alt}(F)=\frac{1}{r!}\sum_{\pi\in\sigma_r} \epsilon(\pi) F^{\pi}\](dove \(\pi\in\sigma_r\) è ogni permutazione su \(\{1,...,r\}\) ed \(\epsilon(\pi)\) il suo segno) cioè, esplicitamente, per ogni \((\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r)\in\mathbf{V}^r\)\[\text{Alt}(F)(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r)=\frac{1}{r!}\sum_{\pi\in\sigma_r} \epsilon(\pi) F(\mathbf{v}_{\pi(1)},...,\mathbf{v}_{\pi(r)})\]Noto che, mentre il Sernesi definisce nel paragrafo 40 il prodotto esterno tra tensori alterni come \(F\wedge G=\text{Alt}(F\otimes G)\), altri autori utilizzano definizioni alternative di tale prodotto che portano, chiamando \(\{\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n\}\) la base di uno spazio vettoriale e \(\{x_1,...,x_n\}\) la base duale, ad avere invece\[ x_{i_1}\wedge...\wedge x_{i_r} (\mathbf{e}_{j_1},...,\mathbf{e}_{j_r}) = \begin{cases}±1&\text{se }J\text{ è una permutazione di }I\\0&\text{altrimenti}\end{cases} \]come lo Spivak che definisce per \(F\in\wedge ^{r}\mathbf{V}^{\breve{}}\) e \(G\in\wedge ^{s}\mathbf{V}^{\breve{}}\)\[F\wedge G=\frac{(r+s)!}{r!s!}\text{Alt}(F\otimes G)\]o il Candilera che mi pare che (conservando la definizione di \(\text{Alt}\) del Sernesi) utilizzi una definizione di prodotto esterno\[F\wedge G=(r+s)! \text{Alt}(F\otimes G)\]
Adottando una di queste definizioni di prodotto esterno mi torna il conto dell'espressione dei coefficienti di una forma differenziale per cui avevo già scritto in questo forum e riesco a dare un senso alle forme di volume usate dal Sernesi che mi hanno tormentato tanto perché non vedevo per che motivo sparisse il fattoriale: quindi mi sono convinto che, nei paragrafi 42 e 43, il prodotto esterno usato dal Sernesi non sia proprio identico a quello definito nel paragrafo 40
, ma sia piuttosto quello dello Spivak oppure del Candilera ed ho visto per la rete -'sto problema mi ha tenuto sveglio sul computer fino alle tre del mattino- che anche altri autori usano questi prodotti "leggermente" diversi da quello del § 40 del Sernesi! Lo Spivak dice oltretutto esplicitamente che ci sono modi alternativi di definire \(F\wedge G\).Se dico scemenze sarò $\infty$-mente grato a chi me lo facesse notare...
Risposte
Studiando la teoria dell'integrazione sulle \(\partial\)-varietà e cercando materiali anche in Internet ho maturato l'impressione che il prodotto esterno tra differenziali sia proprio solitamente del tipo usato dallo Spivak, in modo che \(\text{vol}(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n)=x_1\wedge...\wedge x_n (\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n)\) piuttosto che \(\text{vol}(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n)=n! x_1\wedge...\wedge x_n (\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n)\)... Sbaglio?
\(\infty\) grazie ancora a tutti!!!
\(\infty\) grazie ancora a tutti!!!
"DavideGenova":Ringrazia te che hai finalmente deciso di cambiare testo.
Innanzitutto volevo ringraziare nuovamente killing_buddha e j18eos per avermi consigliato le dispense del Prof. Candilera e lo Spivak...
"DavideGenova":No, però stai attento che lo Spivak non definisce \(F\wedge G\) in quella maniera a caso... è lo stesso motivo per cui definisce \(\mathrm{Alt}(F)\) in quella maniera, ovvero: perché \(\displaystyle\frac{1}{r!}\) come coefficiente della sommatoria?
... Sbaglio?...
"j18eos":
Ringrazia te che hai finalmente deciso di cambiare testo.
Beh, mancava poco e il Sernesi l'ho voluto comunque portare a termine.Non ho termini di paragone perché è l'unico testo di topologia e geometria differenziale di cui abbia letto più di un paio di teoremi, ma devo essere sincero nel dire che l'ho amato. Anche perché mi affascinano immensamente gli argomenti che tratta.
Tuttavia non posso dire che sia talvolta poco... diciamo esplicativo.
La pecca più grande per me è il non dire che il prodotto alterno usato dal paragrafo 42 in avanti non è proprio identico a quello definito nel paragrafo 40, per via del coefficiente con i fattoriali. Sarà una cosa secondaria, ma a me piace verificare ogni formula che incontro in un testo e questa cosa mi ha spiazzato moltissimo.
"j18eos":
lo Spivak non definisce \( F\wedge G \) in quella maniera a caso...
Direi che è proprio perché è comodo trovarsi con l'uguaglianza \(\text{d}u_{1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{n}(\mathbf{u}) \Big(\frac{\partial}{\partial u_{1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{n}}(\mathbf{u})\Big)=1\).
È questa la maniera più comune di definire il prodotto esterno \( F\wedge G \)?
"j18eos":Credo che sia perché si possa avere \(\text{Alt}(F)=F\) se $F$ è già alterno...
è lo stesso motivo per cui definisce \( \mathrm{Alt}(F) \) in quella maniera, ovvero: perché \( \displaystyle\frac{1}{r!} \) come coefficiente della sommatoria?
Grazie ancora per tutto!!!!!
Esatto! 
Duc in altum et plus ultra [size=85]spero di non aver fatto un'accozzaglia di locuzioni latine...[/size]
Duc in altum et plus ultra [size=85]spero di non aver fatto un'accozzaglia di locuzioni latine...[/size]
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