Prodotto di un vettore per uno scalare è un operazione binaria interna?
Ciao a tutti, stavo cercando informazioni su un piccolo dubbio che mi è sorto durante i miei studi, purtroppo la ricerca si è rivelata ostica in quanto i termini che inserisco, essendo simili ad un'altro argomento, riportano risultati diversi da quello cercato. Perciò eccomi quindi a chiedervi:
Il prodotto di un vettore per uno scalare è un'operazione binaria interna?
Ho provato a ragionare un po' ma non sono per nulla convinto della risposta che mi sono dato. Il ragionamento che ho seguito è il seguente:
Per definizione, dato un insieme $ G $ non vuoto, l'operazione binaria interna $ # $ è un applicazione che associa alla coppia $ (g,g') $ risultato del prodotto cartesiano di $ G x G $ l'elemento $ (g # g') $ dell'insieme $ G $.
Di conseguenza per quanto riguarda il prodotto di un vettore per uno scalare non abbiamo più la coppia $ (g,g') $ in quanto $ g $ è un vettore e $ g' $ è uno scalare, perciò la coppia non può essere risultato del prodotto cartesiano $ G x G $.
È corretto?
Il prodotto di un vettore per uno scalare è un'operazione binaria interna?
Ho provato a ragionare un po' ma non sono per nulla convinto della risposta che mi sono dato. Il ragionamento che ho seguito è il seguente:
Per definizione, dato un insieme $ G $ non vuoto, l'operazione binaria interna $ # $ è un applicazione che associa alla coppia $ (g,g') $ risultato del prodotto cartesiano di $ G x G $ l'elemento $ (g # g') $ dell'insieme $ G $.
Di conseguenza per quanto riguarda il prodotto di un vettore per uno scalare non abbiamo più la coppia $ (g,g') $ in quanto $ g $ è un vettore e $ g' $ è uno scalare, perciò la coppia non può essere risultato del prodotto cartesiano $ G x G $.
È corretto?
Risposte
@Bandi,
una funzione \(f: (A \times A) \to A\) dicesi operazione interna binaria, una qualunque funzione \(g: (B \times A) \to A \;, \; A \neq B \) dicesi operazione esterna binaria
Ovviamente parliamo di funzioni non parziali, ricordati che ci sono diversi modi di vedere questi concetti, ad esempio se togli dalla definizione di operazione esterna binaria il fatto \(A \neq B\) allora puoi vedere che un'operazione interna binaria è anche un'operazione esterna binaria (magari in questo caso, se ricordo bene di avere letto negli scritti di Arno Predonzan, sarebbe bene parlare di operazione binara e non di operazione esterna binaria, ma sono sottiglienze.. basta capire il concetto)
P.S.:
O mi sfugge qualcosa?!
una funzione \(f: (A \times A) \to A\) dicesi operazione interna binaria, una qualunque funzione \(g: (B \times A) \to A \;, \; A \neq B \) dicesi operazione esterna binaria
Ovviamente parliamo di funzioni non parziali, ricordati che ci sono diversi modi di vedere questi concetti, ad esempio se togli dalla definizione di operazione esterna binaria il fatto \(A \neq B\) allora puoi vedere che un'operazione interna binaria è anche un'operazione esterna binaria (magari in questo caso, se ricordo bene di avere letto negli scritti di Arno Predonzan, sarebbe bene parlare di operazione binara e non di operazione esterna binaria, ma sono sottiglienze.. basta capire il concetto)
P.S.:
"Bandi":la tua domanda mi storce un po il naso, se siamo negli spazi vettoriali quel prodotto non mi sembra possibile, forse volevi dire "prodotto di uno scalare per un vettore"
Il prodotto di un vettore per uno scalare è un'operazione binaria interna?
"Bandi":a parte: "chi è \(h\)?", e poi il ragionamento è impreciso nella parte finale non solo perchè, se siamo negli spazio vettoriali, \(g\) non può essere un vettore e \(g'\) non può essere uno scalare, inoltre cosa intendi per "la coppia non può essere risultato del prodotto cartesiano $ G x G $?"
Per definizione, dato un insieme $ G $ non vuoto, l'operazione binaria interna $ # $ è un applicazione che associa alla coppia $ (g,g') $ risultato del prodotto cartesiano di $ G x G $ l'elemento $ (g # h) $ dell'insieme $ G $.
Di conseguenza per quanto riguarda il prodotto di un vettore per uno scalare non abbiamo più la coppia $ (g,g') $ in quanto $ g $ è un vettore e $ g' $ è uno scalare, perciò la coppia non può essere risultato del prodotto cartesiano $ G x G $.
È corretto?
O mi sfugge qualcosa?!
@garnak.olegovitc
Allora, premetto che ho da poco iniziato a studiare Geometria e Algebra lineare, vengo da un lungo periodo di pausa dagli studi e per me è tutto come se fosse nuovo. Perciò ti chiedo: C'è differenza tra le due operazioni? "Prodotto di uno scalare per un vettore" e "Prodotto di un vettore per uno scalare"?
In teoria dovremmo essere negli Spazi vettoriali però il Professore ha indicato proprio "Prodotto di un vettore per uno scalare" e ha successivamente indicato che questa operazione non è binaria interna senza spiegare il perchè, siccome io sono affamato di sapere non riesco a stare senza una motivazione.
Comunque queste è il testo del pdf:
Hai ragione $ h $ non è nessuno, ho solo digitato $ h $ al posto di $ g' $
Modifico il primo post in modo da avere tutto corretto, chiedo venia.
Capisco che il mio ragionamento è un po' campato in aria, infatti è per quello che non ne sono per nulla sicuro.
In breve io ho pensato che un operazione è definita binaria interna quando assegna a una coppia $ (g,g') $ un elemento $ g#g' $ ma $ g $ e $ g' $ devono appartenere allo stesso insieme, per quello dicevo che la coppia non può essere risultato del prodotto cartesiano $ G x G $, perché io ho una coppia formata da un vettore e uno scalare, non da due scalari o da due vettori.
Quindi, non è un operazione binaria interna proprio perché questo tipo di operazione dovrebbe essere qualcosa del genere:
$ f:GxA -> G $
Dove $ G $ è un insieme di vettori non vuoto e $ A =\mathbb{R} $
Sto sbagliando?
"garnak.olegovitc":
la tua domanda mi storce un po il naso, se siamo negli spazi vettoriali quel prodotto non mi sembra possibile, forse volevi dire "prodotto di uno scalare per un vettore"
Allora, premetto che ho da poco iniziato a studiare Geometria e Algebra lineare, vengo da un lungo periodo di pausa dagli studi e per me è tutto come se fosse nuovo. Perciò ti chiedo: C'è differenza tra le due operazioni? "Prodotto di uno scalare per un vettore" e "Prodotto di un vettore per uno scalare"?
In teoria dovremmo essere negli Spazi vettoriali però il Professore ha indicato proprio "Prodotto di un vettore per uno scalare" e ha successivamente indicato che questa operazione non è binaria interna senza spiegare il perchè, siccome io sono affamato di sapere non riesco a stare senza una motivazione.
Comunque queste è il testo del pdf:
"garnak.olegovitc":
a parte: "chi è \(h\)?"
Hai ragione $ h $ non è nessuno, ho solo digitato $ h $ al posto di $ g' $
Modifico il primo post in modo da avere tutto corretto, chiedo venia.
"garnak.olegovitc":
e poi il ragionamento è impreciso nella parte finale non solo perchè, se siamo negli spazio vettoriali, \(g\) non può essere un vettore e \(g'\) non può essere uno scalare, inoltre cosa intendi per "la coppia non può essere risultato del prodotto cartesiano $ G x G $?"
O mi sfugge qualcosa?!
Capisco che il mio ragionamento è un po' campato in aria, infatti è per quello che non ne sono per nulla sicuro.
In breve io ho pensato che un operazione è definita binaria interna quando assegna a una coppia $ (g,g') $ un elemento $ g#g' $ ma $ g $ e $ g' $ devono appartenere allo stesso insieme, per quello dicevo che la coppia non può essere risultato del prodotto cartesiano $ G x G $, perché io ho una coppia formata da un vettore e uno scalare, non da due scalari o da due vettori.
Quindi, non è un operazione binaria interna proprio perché questo tipo di operazione dovrebbe essere qualcosa del genere:
$ f:GxA -> G $
Dove $ G $ è un insieme di vettori non vuoto e $ A =\mathbb{R} $
Sto sbagliando?
"Bandi":leggendo il pdf per il docente non vi è alcuna differenza, o così mi sembra, infatti dice con un po di confusione (il linguaggio naturale alle volte gioca brutta scherzi):
@garnak.olegovitc
Perciò ti chiedo: C'è differenza tra le due operazioni? "Prodotto di uno scalare per un vettore" e "Prodotto di un vettore per uno scalare"?
per me "il prodotto di uno scalare \( k \in \Bbb{K}\) per un vettore \(v \in V\) è l'lemento \(k \cdot v \in V\), considerare il prodotto di \(v \) per \(k\) non ha senso alcuno data la definizione di operazione esterna binaria, ma per il docente è possibile solo a livello del linguaggio naturale parlato perchè poi a livello di formule dice altro.. prova a sollevare con lui questa piccola imprecisione (digli se è possibile, dato che parla di "prodotto di \(v\) per \(k\), che \(k\cdot v=v \cdot k\), ovviamente fallo privamente
) ...OK, aldilà di questo aspetto chiarito, ora sai cosa si intende per operazione interna binaria e per operazione esterna binaria, vero? Pensa al concetto di funzione e coppie ordinate e ti verrà tutto semplicissimo!"Bandi":non riesco a dire se sbagli, solo non ti seguo; prendiamo \(V\) spazio vettoriale (nel tuo caso \(V=\Bbb{R}^n\)) sul campo \(\Bbb{K}\) (anche qui nel tuo caso \(\Bbb{K}=\Bbb{R}\) con due operazioni binarie, quella interna indicata con \( \# \) e quella esterna indicata con \(§\).
In breve io ho pensato che un operazione è definita binaria interna quando assegna a una coppia $ (g,g') $ un elemento $ g#g' $ ma $ g $ e $ g' $ devono appartenere allo stesso insieme, per quello dicevo che la coppia non può essere risultato del prodotto cartesiano $ G x G $, perché io ho una coppia formata da un vettore e uno scalare, non da due scalari o da due vettori.
Quindi, non è un operazione binaria interna proprio perché questo tipo di operazione dovrebbe essere qualcosa ardel genere:
$ f:GxA -> G $
Dove $ G $ è un insieme di vettori non vuoto e $ A =\mathbb{R} $
Sto sbagliando?
Avendo definito una funzione del tipo \(\#: V^2\to V\), prendiamo la coppia \((a,b) \in (V \times V)\) ergo \(a,b \in V\) e questo mi sembra ovvio dalla definizione di \(V^2\), allora \(\#(a,b)=(a\#b) \in V\) per definizione di funzione (ovvio anche qui).
Avendo definito una funzione del tipo \(§: (\Bbb{K} \times V)\to V\), prendiamo la coppia \((c,d) \in (\Bbb{K} \times V)\) ergo \(c \in \Bbb{K},d \in V\) e questo mi sembra ovvio dalla definizione di \((\Bbb{K} \times V)\), allora \(§(c,d)=(c§d) \in V\) per definizione di funzione (ovvio anche qui).
Spero di essere chiaro, è semplice, basta farci l'abitudine se sono concetti nuovi, se hai ancora dubbi chiedi!
"garnak.olegovitc":
OK, aldilà di questo aspetto chiarito, ora sai cosa si intende per operazione interna binaria e per operazione esterna binaria, vero? Pensa al concetto di funzione e coppie ordinate e ti verrà tutto semplicissimo!
Ho capito, semplicemente non è un'operazione binaria interna in quanto, il prodotto di uno scalare per un vettore, è un'operazione binaria esterna.
Non avevo compreso bene le differenze tra le due operazioni, ti ringrazio.
P.S.
Ho trovato conferma anche sulla nota enciclopedia OnLine. Però anche li, l'autore della pagina, commette lo stesso errore che trovo sul pdf utilizzando la frase "moltiplicazione per scalare". Approfondirò la questione con il professore.
Grazie mille.
"Bandi":quale sarebbe questa enciclopedia? Se chiama l'operazione esterna binaria col nome "moltiplicazione/prodotto per scalare" è tutto ok, molti la chiamano così, il tuo docente non fa questo, egli da un ordine del tipo ".. di un vettore per uno scalare..", ma ripeto sono sottigliezze che puoi sollevare a mò di rigore, basta capire il concetto, io nemmeno ricordo come si chiamava questa operazione esterna, penso solo a funzioni etc etc..
P.S.
Ho trovato conferma anche sulla nota enciclopedia OnLine. Però anche li, l'autore della pagina, commette lo stesso errore che trovo sul pdf utilizzando la frase "moltiplicazione per scalare". Approfondirò la questione con il professore.
Grazie mille.
Se vuoi tagliare la testa al toro, puoi vedere il tutto in modo più generale e magari ti aiuta meglio a comprendere..
"garnak.olegovitc":
quale sarebbe questa enciclopedia? Se chiama l'operazione esterna binaria col nome "moltiplicazione/prodotto per scalare" è tutto ok, molti la chiamano così, il tuo docente non fa questo, egli da un ordine del tipo ".. di un vettore per uno scalare..", ma ripeto sono sottigliezze che puoi sollevare a mò di rigore, basta capire il concetto, io nemmeno ricordo come si chiamava questa operazione esterna, penso solo a funzioni etc etc..
Se vuoi tagliare la testa al toro, puoi vedere il tutto in modo più generale e magari ti aiuta meglio a comprendere..
L'enciclopedia di cui parlavo è wikipedia. Italiana però! In ogni caso ti ringrazio, leggendo anche il link che mi hai segnalato sono riuscito a comprendere meglio!:)
Grazie
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