Prodotto di spazi di Haussdorf

[Seldon1]

ragazzi se io ho uno spazio dato da X*Y che è di Haussdorf,posso dire che sia X che Y sono contemporaneamente di Haussdorf? io ho pensato di no dando un controesempio:cioè se prendo due punti p=(x,y) c=(x,y') cioè con la stessa "ascissa" ad esempio la loro proiezione che è una funzione continua mi da su X lo stesso punto,quindi non si dovrebbe verificare la proprietà di Haussdorf..che ne pensate?

[Seldon1]

nessuno puo illuminarmi ?

[perplesso1]

Premetto che è un casino di tempo che non apro il libro di topologia ... cmq potrebbe essere vero, infatti supponiamo $X \times Y$ sia Hausdorff e scegliamo due punti con la stessa ascissa $(x,y)$ e $(x,z)$. Per ipotesi esistono due aperti disgiunti $A \times B$ e $C \times D$ con $(x,y) \in A \times B$ e $(x,z) \in C \times D$ e risulta

$\emptyset = (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)$

ma noi sappiamo che $x \in A \cap C \ne \emptyset$ quindi deve essere $B \cap D = \emptyset$ ovvero $B$ e $D$ sono due aperti disgiunti di $Y$ con $y \in B$ e $z \in D$. Quidni $Y$ è Hausdorff ed analogamente si mostra che $X$ lo è.

Cmq è solo un'idea, aspetta che ti risponde qualcuno più ferrato in materia...

[j18eos]

Io ricordo nitidamente che l'immagine continua e suriettiva di uno spazio di Hausdorff è uno spazio di Hausdorff; nel tuo caso, le applicazioni continue e suriettive sono le proiezioni!

[perplesso1]

"j18eos": l'immagine continua e suriettiva di uno spazio di Hausdorff è uno spazio di Hausdorff

Ciao Armando, è possibile che io abbia trovato un controesempio? Considero l'insieme ${x,y}$ con la topologia discreta $\mathcal D$ (che è hausdorff) e poi lo considero con la topologia $\mathcal{T}={\emptyset,{x},{x,y}}$ (che non è hausdorff). Eppure mi sembra che la mappa identica

id: $({x,y}, \mathcal D) -> ({x,y}, mathcal T)$

sia continua e surriettiva... dove sbaglio? Grazie!

[j18eos]

"perplesso":...dove sbaglio? Grazie!

Avrò sbagliato io... non è che sia molto presente a me stesso (oltre che sul forum).

Forse ho trovato un'altra giustificazione alla domanda di Seldon: \(X\) è omeomorfo a un sottoinsieme \(X\times\{y\}\) di \(X\times Y\), essendo l'assioma di separazione di Hausdorff una proprietà topologica ereditaria (valida per ogni sottospazio) si ha l'asserto!

Ho cannato o centrato stavolta?

EDIT TO perplesso: Ho sbagliato e basta! Chiedo scusa a te ed a Seldon.

[perplesso1]

"j18eos":Ho cannato o centrato stavolta?

A dire la verità questa volta mi hai convinto!

"j18eos":EDIT TO perplesso: Ho sbagliato e basta! Chiedo scusa a te ed a Seldon.

Scusarsi con me non c'è bisogno xD Io sbaglio il 99% delle cose che dico. Sono più le scuse che devo fare che quelle che devo ricevere...

[j18eos]

... (Non commento sul commento di perplesso sulle mie scuse, potrei essere spietato contro di me!)

Ecco l'affermazione corretta: siano \(S\) e \(T\) spazi topologici, \(f\) un'applicazione continua e iniettiva da \(S\) a \(T\); se \(T\) è uno spazio di Hausdorff (o Frèchet o Kolmogorov) allora \(S\) è tale!