Prodotto di sottoinsiemi chiusi

[Studente Anonimo]

Ciao

Questo mi ha dato l'idea di pensare se esistono due sottoinsiemi chiusi $A$ e $B$ di $RR$ (topologia usuale) tali che l'insieme prodotto $AB$ non è chiuso.

Qui $AB = {ab : a in A, b in B}$.

Ci sto pensando ma non sembra ovvio. Avete idee?

[otta96]

$A={1/n|n\inNN}uu{0},B=ZZ=>AB=QQ$.

[Studente Anonimo]

Ma il tuo $A$ non è chiuso (invece lo è)

[killing_buddha]

\(\exp : (\mathbb R,+) \to (\mathbb R_>,\cdot)\) è un omeomorfismo (e un isomorfismo di gruppi); ora se esistono $A,B\subseteq \mathbb R$ (ed esistono) chiusi per cui il loro sum-set non è chiuso, non lo è \(\exp(A+B)\subseteq \mathbb R_>\), perché coincide con \(\exp(A)\exp(B)\).

[otta96]

@Martino In realtà si che è chiuso, perché non dovrebbe esserlo?
@killing_buddha anche io avevo pensato a una cosa del genere ma stavo provando con il logaritmo, quindi mi servivano due insiemi chiusi la cui somma non è chiusa tutti positivi però, e dato che non mi veniva in mente ho messo una soluzione più esplicita.

[Studente Anonimo]

Ah scusa non avevo visto che avevi messo anche lo zero. Giusto!

[dissonance]

"otta96":$A={1/n|n\inNN}uu{0},B=ZZ=>AB=QQ$.