Prodotto di compatti
Salve vorrei che mi svelaste il significato profondo della seguente affermazione:
"Se $XxY$ è un compatto allora anche $X$ e $Y$ sono compatti, perchè $\pi_X$ e $\pi_Y$ sono continue"
Cioè il dubbio è su come $\pi_X$ o $\pi_Y$ come sono definite?
Dato che gli aperti del prodotto sono tutte le unioni dei prodotti degli aperti di $X$ e $Y$, ipotizzo che la proiezione manda gli aperti del prodotto nell'aperto dell'insieme, e dato che questi nel prodotto sono un numero finito, lo saranno anche tramite la proiezione dato, che è un applicazione continua e quindi si becca l'eredità della compattezza dal dominio.
Funge??
"Se $XxY$ è un compatto allora anche $X$ e $Y$ sono compatti, perchè $\pi_X$ e $\pi_Y$ sono continue"
Cioè il dubbio è su come $\pi_X$ o $\pi_Y$ come sono definite?
Dato che gli aperti del prodotto sono tutte le unioni dei prodotti degli aperti di $X$ e $Y$, ipotizzo che la proiezione manda gli aperti del prodotto nell'aperto dell'insieme, e dato che questi nel prodotto sono un numero finito, lo saranno anche tramite la proiezione dato, che è un applicazione continua e quindi si becca l'eredità della compattezza dal dominio.
Funge??
Risposte
Tieni presente tre cose:
1) $pi_1$ e $pi_2$ sono definite in questo modo:
$pi_1:X xx Y to X,\ pi_1(x,y)=x$,
$pi_2:X xx Y to Y,\ pi_2(x,y)=y$.
In particolare sono suriettive.
2) $pi_1$ e $pi_2$ sono continue per definizione di topologia prodotto.
3) Una funzione continua manda compatti in compatti.
Dimostro la (3): se $f:A to B$ e' continua e $A$ e' compatto allora detto $(U_i)_{i in I}$ un ricoprimento aperto di $B$, $(f^{-1}(U_i))_{i in I}$ e' un ricoprimento aperto di $A$. Sia $(f^{-1}(U_j))_{j in J} subseteq (f^{-1}(U_i))_{i in I}$ un sottoricoprimento finito di $A$. Allora $(U_j)_{j in J}$ e' un sottoricoprimento finito di $B$.
1) $pi_1$ e $pi_2$ sono definite in questo modo:
$pi_1:X xx Y to X,\ pi_1(x,y)=x$,
$pi_2:X xx Y to Y,\ pi_2(x,y)=y$.
In particolare sono suriettive.
2) $pi_1$ e $pi_2$ sono continue per definizione di topologia prodotto.
3) Una funzione continua manda compatti in compatti.
Dimostro la (3): se $f:A to B$ e' continua e $A$ e' compatto allora detto $(U_i)_{i in I}$ un ricoprimento aperto di $B$, $(f^{-1}(U_i))_{i in I}$ e' un ricoprimento aperto di $A$. Sia $(f^{-1}(U_j))_{j in J} subseteq (f^{-1}(U_i))_{i in I}$ un sottoricoprimento finito di $A$. Allora $(U_j)_{j in J}$ e' un sottoricoprimento finito di $B$.
martin quindi l'idea era giusta?
Grazie
Grazie
"squalllionheart":
Dato che gli aperti del prodotto sono tutte le unioni dei prodotti degli aperti di $X$ e $Y$, ipotizzo che la proiezione manda gli aperti del prodotto nell'aperto dell'insieme, e dato che questi nel prodotto sono un numero finito, lo saranno anche tramite la proiezione dato, che è un applicazione continua e quindi si becca l'eredità della compattezza dal dominio.
Non capisco questo ragionamento, dovresti formularlo meglio. Alcune cose non sono chiare, per esempio:
ipotizzo che la proiezione manda gli aperti del prodotto nell'aperto dell'insieme
Perche' ipotizzi questo?
dato che questi nel prodotto sono un numero finito
Perche'?
dato, che è un applicazione continua e quindi si becca l'eredità della compattezza dal dominio.
Ma allora non potevi dire fin da subito che l'immagine e' compatta perche' la funzione e' continua?
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