Prodotto commutativo e matrici polinomiali
salve
si definisce matrice polinomiale
$p(A)=a_n*A^n+...+a_0*I$
come si dimostra che due matrici polinomiali della solita matrice A commutanto sempre?
grazie delle eventuali risposte
si definisce matrice polinomiale
$p(A)=a_n*A^n+...+a_0*I$
come si dimostra che due matrici polinomiali della solita matrice A commutanto sempre?
grazie delle eventuali risposte
Risposte
Scritto così "commutano" non è molto chiaro (per me); se puoi esplicitare rispetto a quale operazione commutano (somma, prodotto, altra).
no scusa hai ragione sono stato incompleto(anche se nel titolo ho scritto prodotto commutativo ;D) comunque voglio dimostrare che:
prese $p(A),h(A)$ matrici polinomiali definite come sopra
allora $p(A)*h(A)=h(A)*p(A)$
prese $p(A),h(A)$ matrici polinomiali definite come sopra
allora $p(A)*h(A)=h(A)*p(A)$
Se ci fai caso, risulta che: \[\bigg(\sum_{k=0}^nb_kA^k\bigg)\cdot\bigg(\sum_{h=0}^mc_hA^h\bigg)=\bigg(\sum_{i=0}^{m+n}\sum_{k+h=i}b_kc_hA^i\bigg)\] da cui segue l'asserto; se stiamo su un anello commutativo unitario (in particolare su un campo).
EDIT Corretto un apice!
EDIT Corretto un apice!
no non ho capito 
Come sei generico oggi Cosimo! 
Riporto una parte del calcolo: \[\bigg(\sum_{k=0}^nb_kA^k\bigg)\cdot\bigg(\sum_{h=0}^mc_hA^h\bigg)=\sum_{k=0}^nb_k\bigg(A^k\sum_{h=0}^mc_hA^h\bigg)=...=\sum_{k=0}^n\sum_{h=0}^mb_kc_hA^{k+h}\] poni \(k+h=i\) ed ottieni l'eguaglianza che ti ho scritto di sopra.
Al di là di tale espressione, hai concluso con la tesi; ammesso che i coefficienti e la matrice sia su un anello commutativo unitario (in particolare su un campo).
Se non sai cosa sono gli anelli commutativi unitari, l'importante è che tu sappia che ciò valga sui campi quali \(\mathbb{Q;R;C}\) e.o.
Riporto una parte del calcolo: \[\bigg(\sum_{k=0}^nb_kA^k\bigg)\cdot\bigg(\sum_{h=0}^mc_hA^h\bigg)=\sum_{k=0}^nb_k\bigg(A^k\sum_{h=0}^mc_hA^h\bigg)=...=\sum_{k=0}^n\sum_{h=0}^mb_kc_hA^{k+h}\] poni \(k+h=i\) ed ottieni l'eguaglianza che ti ho scritto di sopra.
Al di là di tale espressione, hai concluso con la tesi; ammesso che i coefficienti e la matrice sia su un anello commutativo unitario (in particolare su un campo).
Se non sai cosa sono gli anelli commutativi unitari, l'importante è che tu sappia che ciò valga sui campi quali \(\mathbb{Q;R;C}\) e.o.
scusami
cosa sono i campi commutativi lo so (quegli unitari no), quello che continua a non risultarmi evidente, oltre a come si arrivi alla forma scritta, e' come da tale forma si giunga alla tesi, ovvero a dire che
$\sum_{k=1}^n b_k a^k * \sum_{h=1}^m c_h a^h = \sum_{h=1}^m c_h a^h * \sum_{k=1}^n b_k a^k $
cosa sono i campi commutativi lo so (quegli unitari no), quello che continua a non risultarmi evidente, oltre a come si arrivi alla forma scritta, e' come da tale forma si giunga alla tesi, ovvero a dire che
$\sum_{k=1}^n b_k a^k * \sum_{h=1}^m c_h a^h = \sum_{h=1}^m c_h a^h * \sum_{k=1}^n b_k a^k $
purtroppo sono concetti con cui ho molta poca maneggevolezza(quella che avevo e' arrugginita da un paio di anni di non uso)
A parte che i campi sono unitari di loro; non ti garba che \[\sum_{k=0}^n\sum_{h=0}^mb_kc_hA^{k+h}=\sum_{h=0}^m\sum_{k=0}^nc_hb_kA^{h+k}\] da cui la tesi?
ah, ma che minch... cavolata
grazie mille per la pazienza!
[P.S.: cosa vuol dire unitario?]
grazie mille per la pazienza!
[P.S.: cosa vuol dire unitario?]
"j18eos":
Scritto così "commutano" non è molto chiaro (per me); se puoi esplicitare rispetto a quale operazione commutano (somma, prodotto, altra).
"j18eos":
se stiamo su un anello commutativo unitario (in particolare su un campo).
@Armando: Ti sei dimenticato di puntualizzare sulla definizione di "matrice", su quella di "polinomio" e di richiedere il numero di scarpe di Cosimo: tutte informazioni assolutamente necessarie affinché si possa rispondere alla sua domanda! Tanta sciatteria non è da te.
@Cosimo La definizione di struttura algebrica unitaria meglio che la lasci ad altri, dato che mi stanno passando per la mente le notazioni dell'algebra universale.
@Giuseppe Sarà l'influenza della domenica triestina, c'ho messo un pò per capire anche la tua frecciatina.
@Giuseppe Sarà l'influenza della domenica triestina, c'ho messo un pò per capire anche la tua frecciatina.
Volevo dire, scherzando, che secondo me stai esagerando con il formalismo. E' evidente che dzcosimo sta parlando di matrici reali, o tuttalpiù complesse, e l'operazione che gli interessa è il prodotto di matrici: richiedere ulteriori informazioni e scomodare oggetti matematici sofisticati rischia di confondere. Anche perché nel caso in questione tali generalizzazioni non aggiungono alcuna idea sostanziale.
"dissonance":Sta volta ti ho preceduto (nel senso che me ne sono reso conto); infatti, ho cercato poi di limitarmi ai soli campi, per i motivi di cui hai scritto sopra!
...secondo me stai esagerando con il formalismo...
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