Prodotti wedge e integrali
mi chiedevo,
che senso ha fare tutto il casino per definire i tensori alternati e le k-forme differenziali, se poi l'integrale di una forma viene definito mediante l'integrale solito che già conoscevamo?
che senso ha fare tutto il casino per definire i tensori alternati e le k-forme differenziali, se poi l'integrale di una forma viene definito mediante l'integrale solito che già conoscevamo?
Risposte
mmh... in effetti potrebbe essere legato al fatto che prima non sapevo trattare per bene l' "elementino di volume", adesso si avendo detto che deve essere una forma alternata
e inoltre vedo che esiste ed è unica una n-forma differenziale in $RR^n$ e che mediante cambi di base ho un legame dato dal determinante, a cui quindi associo significato di volume.
Può andare come interpretazione?
Nel mio libro adesso inizia tutta una parte sui cubi, per poi arrivare a dimostrare il teorema di stokes in $RR^n$, è la maniera ufficialmente approvata?
O facendo così rischio solo di perdere tempo perchè poi alla fine si scopre che abbiamo semplificato e non è il modo più rigorosamente corretto?
E nel caso, come mai va bene restringere l'attenzione sui cubi?
Grazie, ciao
e inoltre vedo che esiste ed è unica una n-forma differenziale in $RR^n$ e che mediante cambi di base ho un legame dato dal determinante, a cui quindi associo significato di volume.
Può andare come interpretazione?
Nel mio libro adesso inizia tutta una parte sui cubi, per poi arrivare a dimostrare il teorema di stokes in $RR^n$, è la maniera ufficialmente approvata?
O facendo così rischio solo di perdere tempo perchè poi alla fine si scopre che abbiamo semplificato e non è il modo più rigorosamente corretto?
E nel caso, come mai va bene restringere l'attenzione sui cubi?
Grazie, ciao
Sì, hai perfettamente ragione per quel che riguarda il cambiamento di base. Ma a mio avviso la vera utilità delle k-forme risiede nel teorema di Stokes e nella coomologia di DeRham.
Il teorema di Stokes è la generalizzazione di tutti i teoremi di analisi sull'integrazione visti nei primi anni di università, ma adesso trattato sotto un aspetto completamente nuovo. La coomologia di DeRham è un potentissimo strumento per determinare le peculiarità topologiche della tua varietà su cui lavori e si basa principalmente sul problema di analizzare le k-forme chiuse ma non esatte, e vedere quanto esse siano "lontane" dall'essere esatte.
Non ho capito la parte sui cubi. Non dimostrate il teorema di Stokes in generale, per una qualsiasi varietà orientabile con bordo? In ogni caso la dimostrazione del teorema di Stokes generale si fa prima supponendo che il supporto della tua forma sia contenuta in una singola carta, e quindi puoi ridurti al caso di $RR^n$ (e penso che in questo caso puoi ridurre l'integrazione su un cubo, dato che il supporto è compatto). Dopodiché, il teorema segue introducendo una partizione dell'unità sulla tua varietà.
Il teorema di Stokes è la generalizzazione di tutti i teoremi di analisi sull'integrazione visti nei primi anni di università, ma adesso trattato sotto un aspetto completamente nuovo. La coomologia di DeRham è un potentissimo strumento per determinare le peculiarità topologiche della tua varietà su cui lavori e si basa principalmente sul problema di analizzare le k-forme chiuse ma non esatte, e vedere quanto esse siano "lontane" dall'essere esatte.
Non ho capito la parte sui cubi. Non dimostrate il teorema di Stokes in generale, per una qualsiasi varietà orientabile con bordo? In ogni caso la dimostrazione del teorema di Stokes generale si fa prima supponendo che il supporto della tua forma sia contenuta in una singola carta, e quindi puoi ridurti al caso di $RR^n$ (e penso che in questo caso puoi ridurre l'integrazione su un cubo, dato che il supporto è compatto). Dopodiché, il teorema segue introducendo una partizione dell'unità sulla tua varietà.
"pat87":
Non ho capito la parte sui cubi. Non dimostrate il teorema di Stokes in generale, per una qualsiasi varietà orientabile con bordo?
Alla fine si,
ma prima introduce delle funzioni che vanno da un n-cubo in $RR^n$ e va avanti con quelle definendoci i bordi, in una maniera che tra l'altro non mi torna.
Poi dimostra il th di stokes in $RR^n$
dopo passa alle varietà, ma usando definizioni di varietà immersa in $RR^n$,
non vorrei perdere tempo per poi dovere riniziare da capo su qualcosa di più generale.
Io sto usando Spivak Calculus on manifolds (o qualcosa del genere)
che ne dici? Sapresti eventualmente consigliarmi qualcosaltro?
Ti ringrazio
Ah, non avete mai definito il concetto di varietà in generale, come spazio topologico? Sarebbe utile almeno vedere la definizione (anche se il teorema di Nash praticamente afferma che è sufficiente considerare le varietà immerse in $RR^n$).
Non conosco quel libro. Io ho usato John M. Lee "Introduction to smooth manifolds", che dà un buon background su quello che c'è da sapere in generale.
Ecco il link di google libri: http://books.google.ch/books?id=eqfgZtj ... q=&f=false
Non conosco quel libro. Io ho usato John M. Lee "Introduction to smooth manifolds", che dà un buon background su quello che c'è da sapere in generale.
Ecco il link di google libri: http://books.google.ch/books?id=eqfgZtj ... q=&f=false
No, io il concetto di varietà non immersa lo conosco è solo che quel libro non lo utilizza...
Ti ringrazio per la dritta,
appena lo trovo mi butterò nella lettura.
eventualmente posterò aggiornamenti,
Ti ringrazio per la dritta,
appena lo trovo mi butterò nella lettura.
eventualmente posterò aggiornamenti,
ti ringrazio per il libro di Lee che è molto chiaro.
Purtroppo è anche molto lungo e non ho avuto tempo di seguire passo passo tutti i suoi capitoli, ho diversi esami da preparare... ma mi ha chiarito molte cose, in particolare i dubbi sull'integrazione sulle varietà che è proprio ciò che cercavo di capire.
Mi è rimasta solo una domanda direi "filosofica"... Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, perchè definendo l'elemento di volume come una funzione che va da $V^n->RR$ dico che deve essere una forma alternata?
Considerazioni elementari mi portano "naturalmente" a richiedere che $V(v_1,v_2,...,v_n)$ sia un tensore, con la proprietà che se i vettori $v_i$ non sono tutti linearmente indipendenti allora $V(v_1,...,v_n)=0$.
Com'è che giustifico la richiesta di forma alternata?
Purtroppo è anche molto lungo e non ho avuto tempo di seguire passo passo tutti i suoi capitoli, ho diversi esami da preparare... ma mi ha chiarito molte cose, in particolare i dubbi sull'integrazione sulle varietà che è proprio ciò che cercavo di capire.
Mi è rimasta solo una domanda direi "filosofica"... Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, perchè definendo l'elemento di volume come una funzione che va da $V^n->RR$ dico che deve essere una forma alternata?
Considerazioni elementari mi portano "naturalmente" a richiedere che $V(v_1,v_2,...,v_n)$ sia un tensore, con la proprietà che se i vettori $v_i$ non sono tutti linearmente indipendenti allora $V(v_1,...,v_n)=0$.
Com'è che giustifico la richiesta di forma alternata?
gradirei critiche, ovvero, offendetemi pure per qualsiasi cavolata!
partiamo in 1D,
$\int_a^bf dx$ so come è definito, ma non so bene cos'è quell'elementino dx che sto integrando se non che ha a che fare con una lunghezza piccola.
Le proprietà degli integrali mi dicono $\int_a^cf dx+\int_c^bf dx=\int_a^bf dx \ \ \ \forall a,b,c\in RR$
quando $a=b$ ottengo $\int_a^cf dx+\int_c^af dx=0$
quindi $\int_c^af dx=-\int_a^cf dx$
questo mi fa intuire che oltre ad un aspetto (concedetemelo) "misurativo", per il quale si può sviluppare la teoria della misura fino ad arrivare all'integrale di Lebesgue, c'è insito un qualcosa che porta informazione sul verso di percorrenza del cammino di integrazione.
in 2D,
proviamo ad estendere questa cosa,
$\int_a^b\int_c^e f \ dxdy=\int_a^b\int_c^d f \ dxdy+\int_a^b\int_d^e f \ dxdy$
e quando $e=c$ ottengo $\int_a^b\int_d^c f \ dxdy=-\int_a^b\int_c^d f \ dxdy$
allora si può dire che invertendo i sensi di percorrenza di ogni integrazione compare un meno (questa cosa si generalizza immediatamente a $RR^n$)
vedendolo da questa parte però non si vede il fatto dell'alternanza (o sbaglio?), perchè $\int_a^b\int_c^d f \ dxdy=\int_c^d\int_a^b f \ dydx
non ci capisco più niente, mi sa che ho perso il filo...
partiamo in 1D,
$\int_a^bf dx$ so come è definito, ma non so bene cos'è quell'elementino dx che sto integrando se non che ha a che fare con una lunghezza piccola.
Le proprietà degli integrali mi dicono $\int_a^cf dx+\int_c^bf dx=\int_a^bf dx \ \ \ \forall a,b,c\in RR$
quando $a=b$ ottengo $\int_a^cf dx+\int_c^af dx=0$
quindi $\int_c^af dx=-\int_a^cf dx$
questo mi fa intuire che oltre ad un aspetto (concedetemelo) "misurativo", per il quale si può sviluppare la teoria della misura fino ad arrivare all'integrale di Lebesgue, c'è insito un qualcosa che porta informazione sul verso di percorrenza del cammino di integrazione.
in 2D,
proviamo ad estendere questa cosa,
$\int_a^b\int_c^e f \ dxdy=\int_a^b\int_c^d f \ dxdy+\int_a^b\int_d^e f \ dxdy$
e quando $e=c$ ottengo $\int_a^b\int_d^c f \ dxdy=-\int_a^b\int_c^d f \ dxdy$
allora si può dire che invertendo i sensi di percorrenza di ogni integrazione compare un meno (questa cosa si generalizza immediatamente a $RR^n$)
vedendolo da questa parte però non si vede il fatto dell'alternanza (o sbaglio?), perchè $\int_a^b\int_c^d f \ dxdy=\int_c^d\int_a^b f \ dydx
non ci capisco più niente, mi sa che ho perso il filo...
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