Prodotti scalari e vettori isotropi
Ipotesi
Abbiamo $V$ spazio vettoriale su $K$.
il prodotto scalare $b: V x V : -> K $ è semidefinito positivo.
Esiste una base di vettori isotropi $B_V=(v_1,...,v_n)$
Domanda:
Il prodotto scalare è degenere?
Allora...in realtà non sò bene da dove patire, se iniziare dicendendo che la matrice associata a questo prod. scalare ha la diagonale con tutti zeri, oppure se provare ad usare sylvester...
Abbiamo $V$ spazio vettoriale su $K$.
il prodotto scalare $b: V x V : -> K $ è semidefinito positivo.
Esiste una base di vettori isotropi $B_V=(v_1,...,v_n)$
Domanda:
Il prodotto scalare è degenere?
Allora...in realtà non sò bene da dove patire, se iniziare dicendendo che la matrice associata a questo prod. scalare ha la diagonale con tutti zeri, oppure se provare ad usare sylvester...
Risposte
Ma non dipende dal campo??
"alberto86":
Ma non dipende dal campo??
In che senso?
Cosa c'entrerebbe il campo?
Stiamo parlando di un qualsiasi campo $K$, ma se vuoi costruire un controesempio prendi pure il campo che vuoi
Direi che la risposta è no. Prendiamo $V=RR^2$ e il prodotto scalare $<<(x_1,y_1);(x_2, y_2)>>=x_1y_2+y_1x_2=(x_1,y_1)((0, 1), (1, 0))((x_2),(y_2))$. Questo prodotto è non degenere ma la base $(1,0),(0,1)$ di $RR^2$ è composta da vettori isotropi.
Brutta notizia.
Non và bene.
Prendiamo come base $v=(1,1)$ e $w=(-1,1)$, questa è una base ortogonale, ma $b(w,w)=-2$
Quindi la segnatura è $(1,1,0)$ e quindi non è semidefinito positivo
Non và bene.
Prendiamo come base $v=(1,1)$ e $w=(-1,1)$, questa è una base ortogonale, ma $b(w,w)=-2$
Quindi la segnatura è $(1,1,0)$ e quindi non è semidefinito positivo
La dimostrazione non è proprio rigorosa ma ci provo
OSS 1
Ogmi matrice che rappresenta una forma bilineare, mediante un opportuno cambiamento di base, diventa una matrice diagonale. (Sylvester)
Se poi la base è ortonormale la matrice è particolarmente bella.
OSS 2
Se $v \in V$ è un vettore isotropo, ovvero $b(v,v)=0$, anche cambiando base, $v^I$ (vettore nella nuova base) è isotropo, ovvero $b^I(v^I,v^I)=0$ (dove $b^I$ è la nuova forma biliniare la cui matrice è una matrice diagonale)
CONCLUSIONE
Possiamo limitarci a studiare il caso delle matrici diagonali.
Se un prodotto è definito positivo allora la matrice che lo rappresenta è l'identità e non esistono vettori isotropi.
Affinche èsistano vettori isotropi è necessario che
-sulla diagonale compaia almeno un numero negativo (il prodotto non sarebbe semidefinito positivo)
-sulla diagonale compaia almeno uno 0 (il prodotto sarebbe degenere)
Dunque in conlclusione all'esercizio abbiamo che necessariamente il profdotto scalare deve esser degenere
OSS 1
Ogmi matrice che rappresenta una forma bilineare, mediante un opportuno cambiamento di base, diventa una matrice diagonale. (Sylvester)
Se poi la base è ortonormale la matrice è particolarmente bella.
OSS 2
Se $v \in V$ è un vettore isotropo, ovvero $b(v,v)=0$, anche cambiando base, $v^I$ (vettore nella nuova base) è isotropo, ovvero $b^I(v^I,v^I)=0$ (dove $b^I$ è la nuova forma biliniare la cui matrice è una matrice diagonale)
CONCLUSIONE
Possiamo limitarci a studiare il caso delle matrici diagonali.
Se un prodotto è definito positivo allora la matrice che lo rappresenta è l'identità e non esistono vettori isotropi.
Affinche èsistano vettori isotropi è necessario che
-sulla diagonale compaia almeno un numero negativo (il prodotto non sarebbe semidefinito positivo)
-sulla diagonale compaia almeno uno 0 (il prodotto sarebbe degenere)
Dunque in conlclusione all'esercizio abbiamo che necessariamente il profdotto scalare deve esser degenere
Che fesso, non avevo visto la
Con questa ipotesi aggiuntiva penso che la risposta sia affermativa e la tua dimostrazione credo vada bene. Ma se $K=CC$ per "prodotto scalare" intendi una forma hermitiana o simmetrica?
il prodotto scalare b:VxV:→K è semidefinito positivo.
Con questa ipotesi aggiuntiva penso che la risposta sia affermativa e la tua dimostrazione credo vada bene. Ma se $K=CC$ per "prodotto scalare" intendi una forma hermitiana o simmetrica?
La dimostrazione andrebbe fatta a prescindere dal campo.
Quindi l'importante è che venga rispettata la bilinearità e la simmetria.
Il problema se andiamo in $C$ è che non vale sylvester quindi la mia dimostrazione non avrebbe valore.
E' possibile dimostrare il tutto senza usare sylvester?
Quindi l'importante è che venga rispettata la bilinearità e la simmetria.
Il problema se andiamo in $C$ è che non vale sylvester quindi la mia dimostrazione non avrebbe valore.
E' possibile dimostrare il tutto senza usare sylvester?
Ogni forma bilineare simmetrica è diagonalizzabile in qualsiasi campo. In $CC$ una matrice simmetrica è congruente ad una matrice con tutti 1 e 0 sulla diagonale. In $RR$ con +1, -1 e 0 (con la segnatura costante). Anche le matrici hermitiane sono diagonalizzabili. Per il campo $QQ$ le cose sono un po' più complesse e ignoro i campi finiti.
P.S: E' doveroso notare che la positività non ha senso in $CC$ quindi avrebbe al limite senso parlare con sottocampi di $RR$ ma date le difficoltà a lavorare con $QQ$ dovute al fatto che $x^2=b$, e $b$ positivo, non ha sempre soluzioni ti suggerirei di lasciare perdere.
P.S: E' doveroso notare che la positività non ha senso in $CC$ quindi avrebbe al limite senso parlare con sottocampi di $RR$ ma date le difficoltà a lavorare con $QQ$ dovute al fatto che $x^2=b$, e $b$ positivo, non ha sempre soluzioni ti suggerirei di lasciare perdere.
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