Prodotti Scalari e Matrici Associate
Salve, sto avendo qualche problema con esercizi d'esame su prodotti scalari. Cercando su libri e online trovo solo metodi risolutivi quando già posseggo la funzione del prodotto scalare, mentre nel mio caso sono stati assegnati esercizi dove esso non viene dato esplicitamente.
Es:
Data la matrice \[A_{k} = \begin{bmatrix} 2k & 0 & 1-k \\ 0 & k & 0 \\ 1-k & 0 & 2k \end{bmatrix} k \in R^{3}\]
determinare i valori del parametro k per i quali la matrice individua un prodotto scalare. Nel caso k = 2 trovare una base di R3 ortonormale rispetto a tale prodotto scalare
Qui per determinare se la matrice individua un prodotto scalare ho innanzitutto trovato la funzione tramite due vettori generici \[\phi(x,y) = x^{T}A_{k}y = 2kx_{1}y_{1} + (1-k)x_{1}y_{3} + kx_{2}y_{2} + (1-k)y_{1}x_{3} + 2ky_{3}x_{3}\]
E poi ho provato ad applicare le proprietà del prodotto scalare di additività, simmetria e omogeneità rispetto alla prima componente, ma il parametro diventa irrilevante. Ho pensato che magari la matrice determina un prodotto scalare per qualunque K, quindi ho continuato.
Per trovare una base ortonormale ho provato ad applicare Gram-Schmidt partendo dalla base canonica di R3, ma ritrovo semplicemente la base canonica... Penso di aver commesso qualche errore.
Poi:
In R3 è assegnato il prodotto scalare per il quale i vettori \[v_{1} = (1,0,1) v_{2} = (1,1,0) v_{3} = (0,0,1)\] sono una base ortogonale e \[v_{1}\cdot v_{1} = 1, v_{2}\cdot v_{2} = 2, v_{3}\cdot v_{3} = 3\]
1. Scrivere la matrice associata a tale prodotto scalare rispetto alla base canonica in R3;
2. Determinare il complemento ortogonale del sottospazio \[V = {(x,y,z) \in R^{3} : x+y+z=0}\]
E per questo non so proprio che fare per trovare la matrice associata. Potreste darmi qualche consiglio su metodi di risoluzione per problemi di questo tipo?
Es:
Data la matrice \[A_{k} = \begin{bmatrix} 2k & 0 & 1-k \\ 0 & k & 0 \\ 1-k & 0 & 2k \end{bmatrix} k \in R^{3}\]
determinare i valori del parametro k per i quali la matrice individua un prodotto scalare. Nel caso k = 2 trovare una base di R3 ortonormale rispetto a tale prodotto scalare
Qui per determinare se la matrice individua un prodotto scalare ho innanzitutto trovato la funzione tramite due vettori generici \[\phi(x,y) = x^{T}A_{k}y = 2kx_{1}y_{1} + (1-k)x_{1}y_{3} + kx_{2}y_{2} + (1-k)y_{1}x_{3} + 2ky_{3}x_{3}\]
E poi ho provato ad applicare le proprietà del prodotto scalare di additività, simmetria e omogeneità rispetto alla prima componente, ma il parametro diventa irrilevante. Ho pensato che magari la matrice determina un prodotto scalare per qualunque K, quindi ho continuato.
Per trovare una base ortonormale ho provato ad applicare Gram-Schmidt partendo dalla base canonica di R3, ma ritrovo semplicemente la base canonica... Penso di aver commesso qualche errore.
Poi:
In R3 è assegnato il prodotto scalare per il quale i vettori \[v_{1} = (1,0,1) v_{2} = (1,1,0) v_{3} = (0,0,1)\] sono una base ortogonale e \[v_{1}\cdot v_{1} = 1, v_{2}\cdot v_{2} = 2, v_{3}\cdot v_{3} = 3\]
1. Scrivere la matrice associata a tale prodotto scalare rispetto alla base canonica in R3;
2. Determinare il complemento ortogonale del sottospazio \[V = {(x,y,z) \in R^{3} : x+y+z=0}\]
E per questo non so proprio che fare per trovare la matrice associata. Potreste darmi qualche consiglio su metodi di risoluzione per problemi di questo tipo?
Risposte
"LoryMaster":
E poi ho provato ad applicare le proprietà del prodotto scalare di additività, simmetria e omogeneità rispetto alla prima componente, ma il parametro diventa irrilevante.
la condizione di definita positività l'hai controllata?
"LoryMaster":
Per trovare una base ortonormale ho provato ad applicare Gram-Schmidt partendo dalla base canonica di R3, ma ritrovo semplicemente la base canonica... Penso di aver commesso qualche errore.
il procedimento da applicare è quello. l'errore che potresti aver fatto, se non di conto, è quello di aver usato il prodotto scalare canonico di $RR^n$ invece che quello fornito.
per il secondo esercizio devi rammentare due cose:
1. la matrice rappresentativa A di un prodotto scalare è tale che $g(v,w)=v^T A w$ e dunque gli elementi della matrice sono dati da: $A_(ij) = g(v_i,w_j)$
2. dicendoti che è una base ortogonale sai implicitamente anche che $v_1*v_2=v_2*v_3=v_1*v_3=0$
"cooper":
la condizione di definita positività l'hai controllata?
No, non l'ho controllata. Per farlo devo vedere il segno degli autovalori della matrice associata giusto?
Mi viene:
\[(k-\lambda)((2k-\lambda)^{2} - (1-k)^{2}) = 0\]
Da cui ho trovato $\lambda_{1} = k, \lambda_{2} = 3k + 1, \lambda_{3} = k-1$ Quindi per essere sempre definito positivamente devo avere k > 1, Giusto?
"cooper":
il procedimento da applicare è quello. l'errore che potresti aver fatto, se non di conto, è quello di aver usato il prodotto scalare canonico di $RR^n$ invece che quello fornito.
Allora, sostituento k = 2 nella matrice ho ottenuto \[\begin{bmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 4 \end{bmatrix}\] Che dovrebbe definire un prodotto scalare: $g(x,y) = 4x_{1}y_{1} - x_{1}y_{3} + 2x_{2}y_{2}-y{1}x_{3}+4y_{3}x_{3}$
Applico Gram-Schmidt partendo dalla base canonica di $RR^{3} : B = (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
$u_{1} = e_{1}$, $u_{2} = e_{2} - \dfrac{g(e_{2}, u_{1})}{g(u_{1},u_{1})}\cdot u_{1}$ Dove si nota che $g(e_{2}, u_{1}) = 0$, dandomi $u_{2} = e_{2}$, la stessa cosa succede per $u_{3}$
Quindi... bho, non so.
"cooper":
per il secondo esercizio devi rammentare due cose:
1. la matrice rappresentativa A di un prodotto scalare è tale che $g(v,w)=v^T A w$ e dunque gli elementi della matrice sono dati da: $A_(ij) = g(v_i,w_j)$
2. dicendoti che è una base ortogonale sai implicitamente anche che $v_1*v_2=v_2*v_3=v_1*v_3=0$
Grazie, mi mancava il secondo punto! Quindi la matrice associata al prodotto scalare, rispetto alla base ortogonale data dovrebbe essere:
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]
E per trovarla rispetto alla base canonica in $RR^{3}$ devo applicare un cambiamento di base, giusto?
$v_{1} = e_{1} + 0\cdot e_{2} + e_{3}$
$v_{2} = e_{1} + e_{2} + 0\cdot e_{3}$
$v_{3} = 0\cdot e_{1} + 0\cdot e_{2} + e_{3}$
\[M_{Orto, \epsilon} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
Dunque la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica è \[A_{\epsilon} = M_{Orto, \epsilon}^{T}\cdot A \cdot M_{Orto, \epsilon} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]
"LoryMaster":
Quindi per essere sempre definito positivamente devo avere k > 1, Giusto?
esatto!
"LoryMaster":
la stessa cosa succede per u3
non ho controllato bene i conti ma stando al prodotto scalare che hai scritto (che spero sia corretto) a me sembra che $g(e_3, u_1)=-1$
prova a controllare bene i conti (ribadisco che non so se il mio sia corretto).
"LoryMaster":
Quindi la matrice associata al prodotto scalare, rispetto alla base ortogonale data dovrebbe essere: ecc ecc
come ho detto non ho tempo di controllare i conti ma il procedimento mi sembra corretto
Si hai ragione $g(e_{3}, u_{1}) = -1$
Ti ringrazio per l'aiuto
Ti ringrazio per l'aiuto
Per la positività, esiste un criterio comodissimo, che dice: la matrice simmetrica $A$ è definita positiva se il determinante di ognuno dei suoi minori principali è positivo. Dirti cosa sono i minori principali è difficile, ti faccio un esempio con la tua matrice.(Se usi il Sernesi, lo trovi a pag.227)
Il primo minore principale è l'elemento $a_11$, quindi in questo caso è $2k$.
Il secondo è la sottomatrice $((2k,0),(0,k))$ e il terzo è la matrice stessa. Praticamente parti dal primo elemento $a_11$, e aggiungi una riga e una colonna ogni volta.
Ponendo tutti i determinanti dei minori maggiore di zero:
$\{(2k>0),(2k^2>0),(4k^3+(1-k)(-k(1-k))):}$ (il det. l'ho sviluppato secondo la prima colonna)
la seconda equazione è sempre vera quindi la trascuro. La terza viene:
$k(3k^2+2k-1)>0$ allora è positiva se $k>0$ e $3k^2+2k-1>0$ che è positivo per $x>1/3$ o $x<-1$, intersecando le due si ottiene $-11/3$.Ora, non sono molto bravo con le disequazioni, ma credo che la terza si inglobi la prima, visto che c'è un $k>0$. Quindi se ho fatto i calcoli bene dovrebbe essere definita positiva in quei due intervalli.
Il primo minore principale è l'elemento $a_11$, quindi in questo caso è $2k$.
Il secondo è la sottomatrice $((2k,0),(0,k))$ e il terzo è la matrice stessa. Praticamente parti dal primo elemento $a_11$, e aggiungi una riga e una colonna ogni volta.
Ponendo tutti i determinanti dei minori maggiore di zero:
$\{(2k>0),(2k^2>0),(4k^3+(1-k)(-k(1-k))):}$ (il det. l'ho sviluppato secondo la prima colonna)
la seconda equazione è sempre vera quindi la trascuro. La terza viene:
$k(3k^2+2k-1)>0$ allora è positiva se $k>0$ e $3k^2+2k-1>0$ che è positivo per $x>1/3$ o $x<-1$, intersecando le due si ottiene $-1
No, ho appena fatto risolvere il sistema a wolfram. Non si ingloba un tubo, la soluzione finale è $x>1/3$ xD
ciao! non ho fatto nè i tuoi conti nè i suoi. detto questo:
1. il tuo metodo credo sia quello di Sylvester che però non ho mai trattato e quindi faccio fatica a rivedere
2. in questo caso è decisamente più veloce e meno soggetto ad errori di conto il calcolo degli autovalori
3. non cambia niente al sistema di disequazioni ma...
a rigore non è vero. in zero non è verificata, pertanto la soluzione sarebbe $AA k != 0$. ad ogni modo lo zero è escluso già nella prima disequazione quindi il risultato non dovrebbe comunque essere inficiato, però in altre situazioni potrebbe essere di vitale importanza.
in conclusione non avendo fatto i conti (e non potendoli fare ora) non so dire quale dei due risultati sia corretto. al di là dei conti l'OT ha adesso due metodi di risoluzione.
1. il tuo metodo credo sia quello di Sylvester che però non ho mai trattato e quindi faccio fatica a rivedere
2. in questo caso è decisamente più veloce e meno soggetto ad errori di conto il calcolo degli autovalori
3. non cambia niente al sistema di disequazioni ma...
"Sebastiantum":
la seconda equazione è sempre vera quindi la trascuro.
a rigore non è vero. in zero non è verificata, pertanto la soluzione sarebbe $AA k != 0$. ad ogni modo lo zero è escluso già nella prima disequazione quindi il risultato non dovrebbe comunque essere inficiato, però in altre situazioni potrebbe essere di vitale importanza.
in conclusione non avendo fatto i conti (e non potendoli fare ora) non so dire quale dei due risultati sia corretto. al di là dei conti l'OT ha adesso due metodi di risoluzione.
Grazie, non ci avevo pensato!
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