Prodotti scalari e autoaggiunti
Buonasera! Riporto qui questo esercizio sui prodotti scalari:
Sia $(V,phi)$ uno spazio euclideo di dimensione $n$ e sia $psi$ un altro prodotto scalare su V.
Data $C$ una base di $V$, sia $P_(C) in RR[t]$ il polinomio dato da $P_(C)=det(B-tA)$, dove $A$
è la matrice di $phi$ nella base $C$ e $B$ è la matrice di $psi$ nella base $C$
a)Dimostrare che $P_(C)$ è un polinomio di grado $n$ completamente fattorizzatile su $RR$, le cui radici e rispettive molteplicità algebriche non dipendono da $C$.
Supponiamo adesso che $psi$ sia non degenere e poniamo:
$U={f in End(V)| f$ è autoaggiunta sia rispetto a $phi$, sia rispetto a $psi}$
b)Dimostrare che $U$ è un sottospazio vettoriale di $End(V)$ di dimensione maggiore o uguale a $n$
c)Nel caso $V=RR^3$, $phi$ il prodotto scalare standard, $C$ la base canonica e $psi$ tale che $P_(C)=(t-1)^2(t-2)$, calcolare $dim U$.
Allora per il primo punto ho ragionato in questo modo: siamo nelle ipotesi del teorema di diagonalizzazione simultanea, quindi esiste una base ortonormale per $phi$ e ortogonale per $psi$, dunque la matrice $B$ è diagonale con dei $lambda_i$ sulla diagonale principale, mentre la matrice $A$ è l'identità. Dunque il polinomio caratteristico dovrebbe risultare:
$P_C=(lambda_1 -t)*...*(lambda_n-t)$, completamente fattorizzabile con i $lambda_i$ come radici. Fin qui dovrebbe andare tutto bene credo.
Per il secondo punto, verificare che $U$ è un sottospazio di $End(V)$ è una non difficile verifica. Il punto è dimostrarne la dimensione. Avevo pensato di sfruttare l'isomorfismo che c'è tra $End(V)$ e $M(n,RR)$. Qualche idea?
Sia $(V,phi)$ uno spazio euclideo di dimensione $n$ e sia $psi$ un altro prodotto scalare su V.
Data $C$ una base di $V$, sia $P_(C) in RR[t]$ il polinomio dato da $P_(C)=det(B-tA)$, dove $A$
è la matrice di $phi$ nella base $C$ e $B$ è la matrice di $psi$ nella base $C$
a)Dimostrare che $P_(C)$ è un polinomio di grado $n$ completamente fattorizzatile su $RR$, le cui radici e rispettive molteplicità algebriche non dipendono da $C$.
Supponiamo adesso che $psi$ sia non degenere e poniamo:
$U={f in End(V)| f$ è autoaggiunta sia rispetto a $phi$, sia rispetto a $psi}$
b)Dimostrare che $U$ è un sottospazio vettoriale di $End(V)$ di dimensione maggiore o uguale a $n$
c)Nel caso $V=RR^3$, $phi$ il prodotto scalare standard, $C$ la base canonica e $psi$ tale che $P_(C)=(t-1)^2(t-2)$, calcolare $dim U$.
Allora per il primo punto ho ragionato in questo modo: siamo nelle ipotesi del teorema di diagonalizzazione simultanea, quindi esiste una base ortonormale per $phi$ e ortogonale per $psi$, dunque la matrice $B$ è diagonale con dei $lambda_i$ sulla diagonale principale, mentre la matrice $A$ è l'identità. Dunque il polinomio caratteristico dovrebbe risultare:
$P_C=(lambda_1 -t)*...*(lambda_n-t)$, completamente fattorizzabile con i $lambda_i$ come radici. Fin qui dovrebbe andare tutto bene credo.
Per il secondo punto, verificare che $U$ è un sottospazio di $End(V)$ è una non difficile verifica. Il punto è dimostrarne la dimensione. Avevo pensato di sfruttare l'isomorfismo che c'è tra $End(V)$ e $M(n,RR)$. Qualche idea?
Risposte
Perfetto, quindi $A' = tMAM$ e $B' = tMBM$, se ora calcoli $P_D(t)$ e sfrutti queste relazioni vedi che la tesi la dimostri 
Quindi,$p_(D)=det(B’-tA’)=det(tMBM-t(tMAM))=det(tM(B-tA)M)=det(B-tA)$, sfruttando il fatto che $det(tMM)=1$
Non è detto che $det(tMM) = 1$, le basi sono qualsiasi. Comunque le radici sono indipendenti dal cambio di base, poiché $p_D(t) = det(tMM)p_C(t)$, che hanno le stesse radici.
Giusto giusto...ho sempre l'idea di essere in basi ortonormali 
Quindi ok grazie mille per tutto!
Una sola domanda abbiamo usato due basi qualsiasi per essere nel caso piu generale possibile e dimostrare cosi l'indipendenza del polinomio dalle basi.
Non potevo utilizzare un'altra base ortogonale/ortonormale per dimostrare la stessa tesi?(autovalori e molteplicità algebriche indipendenti)
Quindi ok grazie mille per tutto!
Una sola domanda abbiamo usato due basi qualsiasi per essere nel caso piu generale possibile e dimostrare cosi l'indipendenza del polinomio dalle basi.
Non potevo utilizzare un'altra base ortogonale/ortonormale per dimostrare la stessa tesi?(autovalori e molteplicità algebriche indipendenti)
Nel senso di scegliere sia in arrivo che in partenza una base ortonormale/ortogonale?
Si esatto
Dimostri qualcosa di più debole, cioè che è invariante per cambiamenti di basi ortogonali/ortonormali.
Ah okok
Grazie per tutta la discussione
Grazie per tutta la discussione
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