Prodotti scalari
Salve a tutti, ho il seguente dubbio.
Se io avessi un'applicazione lineare $g:V*V->RR$ e volessi dimostrare se si tratta di un prodotto scalare o meno; dalla definizione di prodotto scalare ho che quest'ultimo è una forma bilineare $g$ simmetrica tale che $g(v,w)=g(w,v)$. Quindi per dimostrare se si tratta di un prodotto scalare o meno posso costruire la matrice associata rispetto alla base canonica di $V$: se la matrice è simmetrica allora si tratta di un prodotto scalare, altrimenti no. Che ne dite? Se così fosse, esistono altri modi più "veloci" per poter dire subito se si tratta di un prodotto scalare o meno. Per dimostrare invece che è una forma bilineare?
Grazie a tutti.
Se io avessi un'applicazione lineare $g:V*V->RR$ e volessi dimostrare se si tratta di un prodotto scalare o meno; dalla definizione di prodotto scalare ho che quest'ultimo è una forma bilineare $g$ simmetrica tale che $g(v,w)=g(w,v)$. Quindi per dimostrare se si tratta di un prodotto scalare o meno posso costruire la matrice associata rispetto alla base canonica di $V$: se la matrice è simmetrica allora si tratta di un prodotto scalare, altrimenti no. Che ne dite? Se così fosse, esistono altri modi più "veloci" per poter dire subito se si tratta di un prodotto scalare o meno. Per dimostrare invece che è una forma bilineare?
Grazie a tutti.
Risposte
Un prodotto scalare definito su uno spazio vettoriale reale è una forma bilineare simmetrica definita positiva. Ogni forma bilineare simmetrica è rappresentabile da una matrice simmetrica e ogni matrice simmetrica rappresenta una forma bilineare simmetrica, e tale matrice sarà definita positiva se e solo se lo è la forma bilineare associata.
Il metodo che delinei tu a me, personalmente, sembra quindi valido, con la precisazione che si verifichi la definitezza positiva della matrice (per esempio guardandone gli autovalori).
Poi magari qualcuno più esperto interviene...
Ciao!
Il metodo che delinei tu a me, personalmente, sembra quindi valido, con la precisazione che si verifichi la definitezza positiva della matrice (per esempio guardandone gli autovalori).
Poi magari qualcuno più esperto interviene...
Ciao!
Grazie della tua risposta 
Ma in realtà dipende tutto dalla base in cui la matrice è rappresentata (in generale non ha senso parlare di base canonica di uno spazio vettoriale $V$ che non sia $\mathbb{R}^n$). La matrice associata ad un prodotto scalare non è simmetrica in tutte le basi! Quindi attenzione!
Un attimo, Ale, sei sicuro? Quanto dici è in contraddizione con ciò che dice il Sernesi, Geometria I, p. 211...
Si noti che due matrici rappresentano la stessa forma bilineare in basi diverse se e solo se sono congruenti e una matrice congruente ad una simmetrica è simmetrica.
Si noti che due matrici rappresentano la stessa forma bilineare in basi diverse se e solo se sono congruenti e una matrice congruente ad una simmetrica è simmetrica.
Scusatemi, ho detto una cavolata!
avevo in mente il fatto che, se ho un endomorfismo di uno spazio vettoriale che in una certa base è rappresentato da una matrice simmetrica, nulla assicura che la matrice che lo rappresenta sia simmetrica rispetto ad un'altra base.
Mi dispiace...
avevo in mente il fatto che, se ho un endomorfismo di uno spazio vettoriale che in una certa base è rappresentato da una matrice simmetrica, nulla assicura che la matrice che lo rappresenta sia simmetrica rispetto ad un'altra base.
Mi dispiace...
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