Procedimento di Gram-Schmidt
A partire dalla base canonica, determinare mediante il procedimento di Gram-Schmidt una base ortonormale B1 per il prodotto scalare:
$<(x1; y1; z1); (x2; y2; z2)> = (2 z1 + y1 - x1) z2 + (y2 - x2) z1 + (2 y1 - x1) y2 - x2 y1 + 2 x1 x2$
e determinare le coordinate di w = (+1;-1; +2) rispetto a B1.
L'ho fatto più volte e il risultato mi viene sempre lo stesso:
$ sqrt(2)/2 , -sqrt(6)/3 , sqrt(22)/2 $
Le cose sono due! Sbaglio io o il risultato dell'esercizio è sbagliato!
Io applico il procedimento di Gram-Schmidt e ottengo $ B1= [V1,V2,V3] $ (dove V1= ( $1/sqrt(2)$ , $0$ , $0$) ; V2= ($sqrt(6)/6$ , $sqrt(6)/3$ , $0$ ) ; V3 = ( $(5*sqrt(22))/66$ , $- sqrt(22)/33$ , $(2*sqrt(22))/11$) faccio l'inversa di questa base trovata e la moltiplico per w = (+1;-1; +2).
Capisco che scrivere tutto il procedimento è lungo e faticoso, però mi farebbe piacere se almeno verificaste l'esattezza del mio risultato.
Ringrazio in anticipo.
$<(x1; y1; z1); (x2; y2; z2)> = (2 z1 + y1 - x1) z2 + (y2 - x2) z1 + (2 y1 - x1) y2 - x2 y1 + 2 x1 x2$
e determinare le coordinate di w = (+1;-1; +2) rispetto a B1.
L'ho fatto più volte e il risultato mi viene sempre lo stesso:
$ sqrt(2)/2 , -sqrt(6)/3 , sqrt(22)/2 $
Le cose sono due! Sbaglio io o il risultato dell'esercizio è sbagliato!
Io applico il procedimento di Gram-Schmidt e ottengo $ B1= [V1,V2,V3] $ (dove V1= ( $1/sqrt(2)$ , $0$ , $0$) ; V2= ($sqrt(6)/6$ , $sqrt(6)/3$ , $0$ ) ; V3 = ( $(5*sqrt(22))/66$ , $- sqrt(22)/33$ , $(2*sqrt(22))/11$) faccio l'inversa di questa base trovata e la moltiplico per w = (+1;-1; +2).
Capisco che scrivere tutto il procedimento è lungo e faticoso, però mi farebbe piacere se almeno verificaste l'esattezza del mio risultato.
Ringrazio in anticipo.
Risposte
HO TROVATO IN COSA SBAGLIAVO!!!
Il procedimento era corretto avrò sbagliato qualche calcolo
Adesso il risultato mi viene uguale a quello del libro!
$ sqrt(2)/2 , -sqrt(6)/3 , (4*sqrt(3))/3 $
La base ortonormale è la seguente: $ B1= [V1,V2,V3] $ (dove V1= ( $1/sqrt(2)$ , $0$ , $0$) ; V2= ($sqrt(6)/6$ , $sqrt(6)/3$ , $0$ ) ; V3 = ( $sqrt(3)/6$ , $- sqrt(3)/6$ , $sqrt(3)/2$)
C'è ancora una cosa che non riesco a capire:
Una base ortonormale non è quando:
1)$A^(T) = A^(-1)$
2)$A^(T)*A=A^-(1)*A=I$ o anche $A*A^(T)=A*A^-(1)=I$
3)$DetA*DetA^(T)=DetA*DetA^(-1)=1$
4)Anche che il prodotto scalare dei vettori presi a due a due deve essere uguale a 0
1) Non si verifica
2)Solo quando faccio il $A*A^(-1)=I$ o viceversa ma se invece faccio la stessa cosa per A con la sua trasposta non ho la matrice identità.
3) Solo quando faccio il $det(A)*det(A^(-1))=1$ o viceversa ma se in invece moltiplico det (A) per la sua trasposta il risultato è diverso da 1.
4) Non si verifica.
Perchè????
Ringrazio in anticipo, per favore aiutatemi a capire!
Il procedimento era corretto avrò sbagliato qualche calcolo
Adesso il risultato mi viene uguale a quello del libro!
$ sqrt(2)/2 , -sqrt(6)/3 , (4*sqrt(3))/3 $
La base ortonormale è la seguente: $ B1= [V1,V2,V3] $ (dove V1= ( $1/sqrt(2)$ , $0$ , $0$) ; V2= ($sqrt(6)/6$ , $sqrt(6)/3$ , $0$ ) ; V3 = ( $sqrt(3)/6$ , $- sqrt(3)/6$ , $sqrt(3)/2$)
C'è ancora una cosa che non riesco a capire:
Una base ortonormale non è quando:
1)$A^(T) = A^(-1)$
2)$A^(T)*A=A^-(1)*A=I$ o anche $A*A^(T)=A*A^-(1)=I$
3)$DetA*DetA^(T)=DetA*DetA^(-1)=1$
4)Anche che il prodotto scalare dei vettori presi a due a due deve essere uguale a 0
1) Non si verifica
2)Solo quando faccio il $A*A^(-1)=I$ o viceversa ma se invece faccio la stessa cosa per A con la sua trasposta non ho la matrice identità.
3) Solo quando faccio il $det(A)*det(A^(-1))=1$ o viceversa ma se in invece moltiplico det (A) per la sua trasposta il risultato è diverso da 1.
4) Non si verifica.
Perchè????
Ringrazio in anticipo, per favore aiutatemi a capire!
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