Problemi sugli esercizi (applicazioni lineari)

[Fiuz]

Ciao a tutti. Seguo il forum da un po' e ho deciso finalmente di iscrivermi per porre alcune delle mie numerose domande.
Sono uno studente/lavoratore quindi il mio più grosso problema sono gli esercizi. Ho appena sostenuto un' appello di AL ed ho fatto... schifo.
Per quanto non abbia problemi a capire la teoria e ad imparare le definizioni, arranco come un mulo sugli esercizi, in particolare sulle applicazioni lineari.

Ad esempio:

Se possibile, si determini un' applicazione $ F : R^3 -> R^4 $ tale che $Ker(F)$ abbia dimensione 2.[/list:u:oblnduu0]
Ora, io dalla teoria so che $Dim( Ker(F)) = 2$ significa che in $R^3$ esiste uno spazio determinato da due vettori linearmente indipendenti (base del Kernel) che "vanno a finire" nel vettore nullo ${0}$ di $R^4$.
Dato l' insieme di vettori della trasformazione $F$ per me non é un problema costruire l' associata $A 3x2$.
Ma in questo caso non ho null' altro che il requisito sul kernel dal testo del problema!

Come posso fare? Devo esprimere $F$ in funzione delle basi canoniche?
Ed ancora, siccome il $Ker()$ deve avere dimensione 2, per forza uno dei vettori di $R^4$ deve essere $(0,0,0,0)$?
Sono molto confuso.
Mille grazie in anticipo.

[Lorin1]

hai provato ad applicare il teorema di esistenza ed unicità delle applicazioni lineari?!

[Fiuz]

Allora, se non sbaglio il teorema dice:

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali. Se ${v_1, . . . , v_n}$ é una base di $V$ e ${w_1, . . . , w_n}$ un arbitrario insieme di vettori di $W$ allora esiste ed é unica l’applicazione lineare $L : V -> W$ tale che $L(v_1) = w_1,...,L(v_n) = W_n$.

In questo esercizio non ho vettori dati ma so sempre che in uno spazio $V$ oppure $W$ posso utilizzare i vettori della base. Giusto?

[Lorin1]

Si io penso che che se tu prendi i due vettori del nucleo, vettori generici perchè non li sappiamo, e li completi ad un sistema linearmente indipendente, cioè ad una base, allora tramite il teorema ti assicuri l'esistenza dell'applicazione lineare.

[Fiuz]

Allora, credo di aver capito.
Perchè la $Dim(Ker)$ sia due, due vettori della matrice associata devono finire in ${0,0,0,0}$ quindi possono essere tranquillamente:

$v_1 = {0,0,0}$ e $v_2 = {0,0,0}$. Il resto viene dalla base di $R^3$ per il teorema del completamento.
Giusto?