Problemi... ho bisogno di aiuto!
Mi trovo sempre nello spazio proiettivo di $RR^3$
e non riesco a dimostrare quanto segue:
1. tre punti non allineati determinano un unico piano che li contiene.
2. Tre piani che non contengono una stessa retta, hanno un unico punt di intersezione.
Questo credo di averlo dimostrato, mi potete dire se è giusto?
Ho detto, si considerino $L,M,N$ tre piani come da ipotesi, allora a coppie si intersecano in una retta $l_{MN},l_{LM},l_{LN}$ adesso se considero l'intersezione tra $M$ e $l_{LN}$ ottengo un punto $P_1$, considerando $N$ e $l_{LM}$ ottengo un punto $P_2$ e infine $L$ e $l_{MN}$ un punto $P_3$ ma questi devono conicidere perchè appartengono a tutti e tre i piani e per i potesi i piani non hanno una retta comune. Inoltre è unico questo punto sempre per il fatto che non hanno una retta in comune, giusto?
3. Due rette si intersecano in un punto se e solo se appartengono allo stesso piano
4. Date tre rette a coppie sghembe, esistono infinite rette che le intersecano tutte e tre
Mi sapreste aiutare? Grazie
e non riesco a dimostrare quanto segue:
1. tre punti non allineati determinano un unico piano che li contiene.
2. Tre piani che non contengono una stessa retta, hanno un unico punt di intersezione.
Questo credo di averlo dimostrato, mi potete dire se è giusto?
Ho detto, si considerino $L,M,N$ tre piani come da ipotesi, allora a coppie si intersecano in una retta $l_{MN},l_{LM},l_{LN}$ adesso se considero l'intersezione tra $M$ e $l_{LN}$ ottengo un punto $P_1$, considerando $N$ e $l_{LM}$ ottengo un punto $P_2$ e infine $L$ e $l_{MN}$ un punto $P_3$ ma questi devono conicidere perchè appartengono a tutti e tre i piani e per i potesi i piani non hanno una retta comune. Inoltre è unico questo punto sempre per il fatto che non hanno una retta in comune, giusto?
3. Due rette si intersecano in un punto se e solo se appartengono allo stesso piano
4. Date tre rette a coppie sghembe, esistono infinite rette che le intersecano tutte e tre
Mi sapreste aiutare? Grazie
Risposte
vi prego!!!
"lorenza.mattei":
Mi trovo sempre nello spazio proiettivo di $RR^3$
e non riesco a dimostrare quanto segue:
1. tre punti non allineati determinano un unico piano che li contiene.
2. Tre piani che non contengono una stessa retta, hanno un unico punt di intersezione.
Questo credo di averlo dimostrato, mi potete dire se è giusto?
Ho detto, si considerino $L,M,N$ tre piani come da ipotesi, allora a coppie si intersecano in una retta $l_{MN},l_{LM},l_{LN}$ adesso se considero l'intersezione tra $M$ e $l_{LN}$ ottengo un punto $P_1$, considerando $N$ e $l_{LM}$ ottengo un punto $P_2$ e infine $L$ e $l_{MN}$ un punto $P_3$ ma questi devono conicidere perchè appartengono a tutti e tre i piani e per i potesi i piani non hanno una retta comune. Inoltre è unico questo punto sempre per il fatto che non hanno una retta in comune, giusto?
3. Due rette si intersecano in un punto se e solo se appartengono allo stesso piano
4. Date tre rette a coppie sghembe, esistono infinite rette che le intersecano tutte e tre
Mi sapreste aiutare? Grazie
premesso che ho letto ora la definizione di spazio proiettivo (cioè+ uno spazio euclideo tale per cui due rette paralelle si intersecano all'infinito)
1. per tre punti non allineati passan 2 rette incidenti tra loro. per due rette incidenti tra loro passa uno e un solo piano (in quanto due rette, due vettori direttori)
2. tre piani che nn contengono la stessa retta -> i tre piani non fanno parte di un fascio di piani -> messi a sistema per rouschè capelli esso è determinato (questo in R^n però penso sia strutturalemnte equivalente in quanto tra R^n e uno spazio proiettivo quest'ultimo è un'immagine dell'altro tramite un'applicazione http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_proiettivo)
3. se sono parallele si intersecano all'infinito ed è ok, se sono incidenti di intersecano ed è ok, in questi due casi appartengono allo stesso piano.
se due rette sono sghembe, non hanno nessun punto in in comune e se son sghembe è facile far vedere che nn appartengono allo stesso piano)
4. devo pensarci
spero di non aver detto cavolate... prendi con le pinze i suggerimenti, non son un esperto in geometria proiettiva
grazie della risposta! Spero ti vengano delle idee per l'ultimo!
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