Problemi coniche
Ho questa conica: $2x^2-2xy+2y^2=3$
Mi viene chiesto:
a) di riconoscerla
b) di scrivere l'equazione degli assi di simmetria
c) di determinare la Canonica
d) di scrivere il cambio di coordinate necessario per ottenere la dorma canonica
a) Non ho problemi a riconoscerla (e ci mancherebbe..) è un'ELLISSE
b) non so come fare a determinare gli assi di simmetria.capisco che ha già centro in O(0,0) facendo le derivate parziali in x e in y, ma non ho proprio idea di come trovare gli assi (se qualcuno mi aiutasse, potrebbe anche dirmi se il procedimento vale sia per l'ellisse che per l'iperbole e parabola?)
c) La canonica la trovo facilmente con gli invarianti e gli autovalori: $((X^2)/3)+Y^2 =1$
anche se a dire il vero ho un po' di problemi a capire quale autovalore va assegnato a X e quale a Y.
in questo caso gli autovalori sono 1 e 3 e il rapporto tra l'invariante cubico e quello quadratico è(I3/I2)= -3
Quindi $(1)X^2 + (3)Y^2 -3 =0$ svolgendo poi arrivo alla soluzione già scritta sopra, (ma cosa mi impediva di utilizzare gli autovalori diversamente : $(3)X^2 + (1)Y^2 -3=0$ ??)
Qualche consiglio?? Ho lo stesso problema con le quadratiche. trovo gli autovalori, ma non so come e quali assegnare ad X, Y e Z
d) questo punto non so proprio farlo.
da qualche parte ho letto che devo trovare gli autovettori, ma poi non so come utilizzarli.
il risultato di questo punto nel testo è
$x=((sqrt2)/2)(X+Y)$
$y=((sqrt2)/2)(X-Y)$
HELP!
grazie
D.
Mi viene chiesto:
a) di riconoscerla
b) di scrivere l'equazione degli assi di simmetria
c) di determinare la Canonica
d) di scrivere il cambio di coordinate necessario per ottenere la dorma canonica
a) Non ho problemi a riconoscerla (e ci mancherebbe..) è un'ELLISSE
b) non so come fare a determinare gli assi di simmetria.capisco che ha già centro in O(0,0) facendo le derivate parziali in x e in y, ma non ho proprio idea di come trovare gli assi (se qualcuno mi aiutasse, potrebbe anche dirmi se il procedimento vale sia per l'ellisse che per l'iperbole e parabola?)
c) La canonica la trovo facilmente con gli invarianti e gli autovalori: $((X^2)/3)+Y^2 =1$
anche se a dire il vero ho un po' di problemi a capire quale autovalore va assegnato a X e quale a Y.
in questo caso gli autovalori sono 1 e 3 e il rapporto tra l'invariante cubico e quello quadratico è(I3/I2)= -3
Quindi $(1)X^2 + (3)Y^2 -3 =0$ svolgendo poi arrivo alla soluzione già scritta sopra, (ma cosa mi impediva di utilizzare gli autovalori diversamente : $(3)X^2 + (1)Y^2 -3=0$ ??)
Qualche consiglio?? Ho lo stesso problema con le quadratiche. trovo gli autovalori, ma non so come e quali assegnare ad X, Y e Z
d) questo punto non so proprio farlo.
da qualche parte ho letto che devo trovare gli autovettori, ma poi non so come utilizzarli.
il risultato di questo punto nel testo è
$x=((sqrt2)/2)(X+Y)$
$y=((sqrt2)/2)(X-Y)$
HELP!
grazie
D.
Risposte
qualche suggerimento.
per il punto b):
per trovare gli assi devi prima trovare gli autovettori (che indico con $E_1$ e $E_3$ dato che i 2 autovalori sono $\lambda =1$ e $\lambda =3$)
gli autovettori indicano la direzione degli assi; quindi per trovare gli assi devi imporre il passaggio per il centro $C$ della conica.
nel tuo caso i 2 autovettori saranno: $[[1],[1]]$ e $[[-1],[1]]$, cioe le rette $r: x+y=0$ e $s: x-y=0$
il centro $C$ l'hai trovato, è $C(0,0)$ e le 2 rette passano gia per $C$ (ma è un caso), quindi $r$ e $s$ sono i 2 assi.
questo procedimento vale per le coniche a centro, cioe ellissi e iperboli.
per il punto c):
è assolutamente indifferente.
per il punto d):
detta $M$ la matrice 2x2 costruita accostando gli autovettori normalizzati (ed essendoti assicurato che $det(M)=1$) e dette $x_c$ e $y_c$ le coordinate del centro, il cambio di riferimento sara:
$[[X],[Y]]=M*[[X'],[Y']]+[[x_c],[y_c]]$
per il punto b):
per trovare gli assi devi prima trovare gli autovettori (che indico con $E_1$ e $E_3$ dato che i 2 autovalori sono $\lambda =1$ e $\lambda =3$)
gli autovettori indicano la direzione degli assi; quindi per trovare gli assi devi imporre il passaggio per il centro $C$ della conica.
nel tuo caso i 2 autovettori saranno: $[[1],[1]]$ e $[[-1],[1]]$, cioe le rette $r: x+y=0$ e $s: x-y=0$
il centro $C$ l'hai trovato, è $C(0,0)$ e le 2 rette passano gia per $C$ (ma è un caso), quindi $r$ e $s$ sono i 2 assi.
questo procedimento vale per le coniche a centro, cioe ellissi e iperboli.
per il punto c):
"tausen":
a dire il vero ho un po' di problemi a capire quale autovalore va assegnato a X e quale a Y
è assolutamente indifferente.
per il punto d):
detta $M$ la matrice 2x2 costruita accostando gli autovettori normalizzati (ed essendoti assicurato che $det(M)=1$) e dette $x_c$ e $y_c$ le coordinate del centro, il cambio di riferimento sara:
$[[X],[Y]]=M*[[X'],[Y']]+[[x_c],[y_c]]$
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