Problemi con le coniche...
Ciao a tutti. Il corso di geometria è terminato e purtroppo il professore ha avuto solo poche ore da dedicare alle coniche, quindi ho qualche difficoltà a svolgere gli esercizi... Ne posto uno insieme al modo in cui ho provato a svolgerlo, sperando che possiate chiarirmi un po' le idee.
Si consideri la conica $ C sub RR^2 $ di equazione $ C: x^2+y^2-6xy+2=0 $ . Si classifichi $ C $ e si determini un'isometria $ f:RR^2rarr RR^2 $ tale che $ f(C)=C_0 $ dove $ C_0 $ è la forma canonica di $ C $ .
Per la classificazione non ho problemi: dalla matrice associata $ A=( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -3 ),( 0 , -3 , 1 ) ) $ si deduce che è un'iperbole non degenere.
Per trovare la forma canonica ho proceduto in questo modo. Posto $ A_0=( ( 1 , -3 ),( -3 , 1 ) ) $ ho calcolato il polinomio caratteristico $ p(lambda)=det(A_0-lambdaI_2)=(1-lambda)^2-9=(lambda-4)(lambda+2) $ e quindi, presi i due autovalori, $ C_0 $ ha equazione $ 4x^2-2y^2+gamma=0 $ .
So inoltre che $ gamma=(lambda_1lambda_2) / detA $ , quindi $ gamma=2 $ . Per cui la conica $ C_0 $ ha equazione $ 4x^2-2y^2+2=0 $ .
Da qui in poi non so come procedere. Il professore, generalizzando un esercizio svolto in aula, ha detto che arrivati a questo punto è necessario uno scambio di assi. Perchè?
Poi ha detto che bisogna scegliere due autovettori relativi agli autovalori trovati, normalizzarli, e metterli in una matrice $ M $ . Da qui, poi, con opportuni calcoli, si dovrebbe giungere all'affinità richiesta. Come posso proseguire l'esercizio? :-\
Si consideri la conica $ C sub RR^2 $ di equazione $ C: x^2+y^2-6xy+2=0 $ . Si classifichi $ C $ e si determini un'isometria $ f:RR^2rarr RR^2 $ tale che $ f(C)=C_0 $ dove $ C_0 $ è la forma canonica di $ C $ .
Per la classificazione non ho problemi: dalla matrice associata $ A=( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -3 ),( 0 , -3 , 1 ) ) $ si deduce che è un'iperbole non degenere.
Per trovare la forma canonica ho proceduto in questo modo. Posto $ A_0=( ( 1 , -3 ),( -3 , 1 ) ) $ ho calcolato il polinomio caratteristico $ p(lambda)=det(A_0-lambdaI_2)=(1-lambda)^2-9=(lambda-4)(lambda+2) $ e quindi, presi i due autovalori, $ C_0 $ ha equazione $ 4x^2-2y^2+gamma=0 $ .
So inoltre che $ gamma=(lambda_1lambda_2) / detA $ , quindi $ gamma=2 $ . Per cui la conica $ C_0 $ ha equazione $ 4x^2-2y^2+2=0 $ .
Da qui in poi non so come procedere. Il professore, generalizzando un esercizio svolto in aula, ha detto che arrivati a questo punto è necessario uno scambio di assi. Perchè?
Poi ha detto che bisogna scegliere due autovettori relativi agli autovalori trovati, normalizzarli, e metterli in una matrice $ M $ . Da qui, poi, con opportuni calcoli, si dovrebbe giungere all'affinità richiesta. Come posso proseguire l'esercizio? :-\
Risposte
L'autospazio \(\displaystyle V_{4} \) è {\(\displaystyle {{(1,-1)}} \)} che normalizzato diventa {\(\displaystyle {{(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2})}} \)}. Analogamente l'autospazio \(\displaystyle V_{-2} \) è { \(\displaystyle {(1,1)} \) } che normalizzato diventa {\(\displaystyle {(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2})} \)}. La matrice T della trasformazione relativa ( che in effetti è una rotazione attorno all'origine delle coordinate) si ottiene prendendo gli autospazi come colonne. Quindi :
\(\displaystyle T=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}\)
Pertanto le equazioni della anzidetta trasformazione sono:
A) \(\displaystyle \begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt2}(x'+y')\\ y=-\frac{1}{\sqrt2}(x'-y')\end{cases} \)
Sostituendo le A nell'equazione di partenza della conica si ottiene appunto :
\(\displaystyle 2x'^2-y'^2+1=0 \)
Da quest'ultima equazione si nota che l'iperbole ha l'asse y come asse " trasverso " mentre di norma l'asse in questione è l'asse x. Per " regolarizzare " la cosa basta fare la traformazione ( che scambia gli assi) di equazioni :
B) \(\displaystyle \begin{cases}x'=Y\\y'=X\end{cases} \)
In questo modo l'equazione della curva diventa :
\(\displaystyle X^2-2Y^2=1 \)
Combinando le (A) e (B) si ottengono le equazioni finali dell'affinità richiesta :
\(\displaystyle \begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt2}(X+Y)\\ y=\frac{1}{\sqrt2}(X-Y)\end{cases} \)
[Tutto questo giro si poteva evitare scegliendo gli autovalori nell'ordine -2,4 anziché nell'ordine 4,-2]
\(\displaystyle T=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}\)
Pertanto le equazioni della anzidetta trasformazione sono:
A) \(\displaystyle \begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt2}(x'+y')\\ y=-\frac{1}{\sqrt2}(x'-y')\end{cases} \)
Sostituendo le A nell'equazione di partenza della conica si ottiene appunto :
\(\displaystyle 2x'^2-y'^2+1=0 \)
Da quest'ultima equazione si nota che l'iperbole ha l'asse y come asse " trasverso " mentre di norma l'asse in questione è l'asse x. Per " regolarizzare " la cosa basta fare la traformazione ( che scambia gli assi) di equazioni :
B) \(\displaystyle \begin{cases}x'=Y\\y'=X\end{cases} \)
In questo modo l'equazione della curva diventa :
\(\displaystyle X^2-2Y^2=1 \)
Combinando le (A) e (B) si ottengono le equazioni finali dell'affinità richiesta :
\(\displaystyle \begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt2}(X+Y)\\ y=\frac{1}{\sqrt2}(X-Y)\end{cases} \)
[Tutto questo giro si poteva evitare scegliendo gli autovalori nell'ordine -2,4 anziché nell'ordine 4,-2]
Il prof ci ha detto che lui per comodità mette sempre l'autovalore più grande vicino alle x e il più piccolo vicino alla y, quindi ho fatto così 
Cmq grazie della risposta esauriente. Il procedimento è sempre questo? Per determinare affinità tra coniche?
Cmq grazie della risposta esauriente. Il procedimento è sempre questo? Per determinare affinità tra coniche?
Il procedimento è quello. Quanto a posizionare gli autovalori ognuno la può vedere come gli pare, salvo poi a fare qualche correzione successiva 
Si, infatti il prof ci ha detto che lui lo fa per abitudine ma ovviamente è indifferente Grazie ancora 
Grazie ancora
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