Problemi con algebra lineare

[Federichina1]

Ciao a tutti! Dato che ho un esame fra poco penso proprio che in questi giorni mi farò viva spesso
Vi pongo qualche dubbio su un esercizio che sto affrontando e non riesco a sbrogliare!
sia $\varphi$ la trasformazione lineare da V3(R) a V3(R) rappresentata dalla seguente matrice rispetto alla base dei versori:
$[[1,-1,0],[0,1,2],[1,0,2]]$
Sia P= (1,1,0).
Descrivete $\varphi^(−1)(P)$ dandone rappresentazione parametrica e indicatene la dimensione.
Sia A = ( 1,1,1) e B = ( 2,2,-1). Descrivete $\varphi(A+L(B))$ e indicatene la dimensione.

Bene... So come calcolare $\varphi^(−1)(P)$ , ma non capisco come darne una rappresentazione parametrica.. Per quanto riguarda l'ultima richiesta proprio non saprei dove mettere le mani! Mi aiutate?

[Federichina1]

La matrice è sicuramente giusta. Per quanto riguarda $\varphi^(-1)(P)$ , lo calcolo moltiplicando la matrice data per (x,y,x) e ponendo il tutto uguale al punto P.Cioè:
$[[1,-1,0],[0,1,2],[1,0,2]]$ $((x),(y),(z))$ = $((1,1,0))$
Da qui però mi fermo... Sergio, mi sai aiutare?

[Federichina1]

Scusa, ho scritto male (1,1,0). Logicamente va per colonna:
$((1),(1),(0))$

[vict85]

"Federichina":La matrice è sicuramente giusta. Per quanto riguarda $\varphi^(-1)(P)$ , lo calcolo moltiplicando la matrice data per (x,y,x) e ponendo il tutto uguale al punto P.Cioè:
$[[1,-1,0],[0,1,2],[1,0,2]]$ $((x),(y),(z)) = ((1),(1),(0))$
Da qui però mi fermo... Sergio, mi sai aiutare?

È un sistema lineare. Cosa puoi dire sulla dimensione delle soluzioni? Potresti anche provare a risolverlo non ti sembra? È evidente che non ha rango massimo quindi la soluzione non sarà un singolo vettore.


Riguardo l'ultimo potresti partire usando la linearità dell'applicazione

[Federichina1]

Grazie mille!!!