Problemi col Complemento Ortogonale
salve volevo chiedervi dei chiarimenti su questo esercizio:
viene data f((x;y;z)) = (x+y;x+4y-z;-y+2z)
interpretando la matrice associata ad f, rispetto alla base canonica, come la matrice di Gram di un prodotto interno fi (scusate ma non so come scrivere la lettera greca
)
1) si determini il complemento ortogonale rispetto a fi del sottospazio definiti dall'equazione 2x - y + 3z = 0;
2) si interpretino geometricamente i risultati ottenuti in 1)
il mio problema è sostanzialmete capire bene cosa sia un COMPLEMENTO ORTOGONALE e come, dato uno spazio vettoriale, trovare delle basi del suo complemento ortogonale
...spero possiate aiutarmi, comunque grazie in anticipo
viene data f((x;y;z)) = (x+y;x+4y-z;-y+2z)
interpretando la matrice associata ad f, rispetto alla base canonica, come la matrice di Gram di un prodotto interno fi (scusate ma non so come scrivere la lettera greca
)1) si determini il complemento ortogonale rispetto a fi del sottospazio definiti dall'equazione 2x - y + 3z = 0;
2) si interpretino geometricamente i risultati ottenuti in 1)
il mio problema è sostanzialmete capire bene cosa sia un COMPLEMENTO ORTOGONALE e come, dato uno spazio vettoriale, trovare delle basi del suo complemento ortogonale
...spero possiate aiutarmi, comunque grazie in anticipo
Risposte
qualche idea? magari su cosa sia il complemento ortogonale e su come trovare basi di questo partendo dal sottospazio vettoriale?? 
Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale su [tex]\mathbb{R}[/tex] di dimensione finita dotato di un prodotto scalare [tex]\phi[/tex] e sia [tex]W \subseteq V[/tex] un suo sottospazio vettoriale. Sia [tex]\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_m[/tex] una base di [tex]W[/tex]. Per definizione [tex]W^{\bot} = \{\mathbf{v} \in V: \phi(\mathbf{v},\mathbf{w}) = 0 \: \forall \mathbf{w} \in W\}[/tex]. Per linearità è facile concludere che le equazioni di [tex]W^{\bot}[/tex] sono espresse vettorialmente da [tex]\phi(\mathbf{v},\mathbf{w}_i) = 0[/tex] per [tex]i = 1,\ldots, m[/tex].
quindi posso deciderle casualmente, basta che il prodotto scalare associato a $ \phi $ di una base di $ W $ e una di $ W^{\bot} $ risulti 0 ??
Sì, ma perché sceglierle casualmente, quando è tanto più facile risolvere il sistema lineare [tex]\phi(\mathbf{v},\mathbf{w}_i) = 0[/tex], [tex]i = 1, \ldots, m[/tex] (in cui le incognite sono le componenti di [tex]\mathbf{v}[/tex] e i coefficienti sono funzioni lineari delle componenti dei vettori della base)?
quindi tu dici che siccome la matrice associata rispetto alla base canonica è : $ ( ( 1 ,1 , 0 ),( 1 , 4 , -1 ),( 0 , -1 , 2 ) ) $ ne ricavo la forma bilineare: $ \phi ((x;y;z);(x';y';z'))= x x'+xy'+yx'+4yy'-yz'-zy'+2zz' $ che si poteva
ricavare direttamente dalla trasformazione lineare senza passare per la matrice e poi siccome $ 2x-y+3=0 $ genera $ W $ risolvendo l'equazione mi viene $ (h-3k;h;k) $ quindi prendo una base del tipo $ (1;1;0) $ e
poi faccio $ \phi ((x;y;z);(1;1;0))=x x'+xy'+yx'+4yy'-yz'-zy'+2zz'=0 $
dunque viene $ x+x+y+4y-z=0 $ cioè $ 2x+5y-z=0 $ la quale dovrebbe essere l'equazione che genera $ W^{\bot} $
poi magari vedo se i due piani sono ortogonali, paralleli o sghembi per risolvere il punto 2)
potrebbe andare?
ricavare direttamente dalla trasformazione lineare senza passare per la matrice e poi siccome $ 2x-y+3=0 $ genera $ W $ risolvendo l'equazione mi viene $ (h-3k;h;k) $ quindi prendo una base del tipo $ (1;1;0) $ e
poi faccio $ \phi ((x;y;z);(1;1;0))=x x'+xy'+yx'+4yy'-yz'-zy'+2zz'=0 $
dunque viene $ x+x+y+4y-z=0 $ cioè $ 2x+5y-z=0 $ la quale dovrebbe essere l'equazione che genera $ W^{\bot} $
poi magari vedo se i due piani sono ortogonali, paralleli o sghembi per risolvere il punto 2)
potrebbe andare?
Sì, ma ti sei mangiato dei pezzi.
[tex]2x-y+3z = 0[/tex] ha una soluzione generale del tipo [tex](h,2h+3k,k)[/tex] e quindi una base è data da [tex](1,2,0), (0,3,1)[/tex]. Dovrò quindi imporre [tex]\begin{cases} \phi((x,y,z),(1,2,0)) = 0 \\ \phi((x,y,z),(0,3,1)) = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x + 11 y -2z = 0 \\ 3x + 11y -z = 0\end{cases}[/tex]
che risolto darà la base del complemento ortogonale cercata.
Ti faccio notare che [tex]W \oplus W^\bot[/tex] sempre e quindi, come avevi fatto tu doveva necessariamente essere sbagliato, perché ottenevi una sola equazione, che porta ad un sottospazio vettoriale di dimensione 2, mentre per quanto detto, deve avere dimensione 1.
[tex]2x-y+3z = 0[/tex] ha una soluzione generale del tipo [tex](h,2h+3k,k)[/tex] e quindi una base è data da [tex](1,2,0), (0,3,1)[/tex]. Dovrò quindi imporre [tex]\begin{cases} \phi((x,y,z),(1,2,0)) = 0 \\ \phi((x,y,z),(0,3,1)) = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x + 11 y -2z = 0 \\ 3x + 11y -z = 0\end{cases}[/tex]
che risolto darà la base del complemento ortogonale cercata.
Ti faccio notare che [tex]W \oplus W^\bot[/tex] sempre e quindi, come avevi fatto tu doveva necessariamente essere sbagliato, perché ottenevi una sola equazione, che porta ad un sottospazio vettoriale di dimensione 2, mentre per quanto detto, deve avere dimensione 1.
si hai ragione me ne ero accorto anche io ma ho anche scoperto che posso fare $ ( ( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 3 , 1 ) ) X ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 4 , -1 ),( 0 , -1 , 2 ) ) X ( ( x ),( y ),( z ) ) $ e dovrei trovare la stessa soluzione, il tuo
procedimento è logico e infatti l'ho capito abbastanza bene, mentre questo con le matrici ancora no, però funziona
procedimento è logico e infatti l'ho capito abbastanza bene, mentre questo con le matrici ancora no, però funziona
Sì, ma basta che guardi attentamente quello che hai scritto: svolgendo i prodotti righe per colonne trovi una matrice 2x1, che corrisponde esattamente al sistema che ho impostato io. Semplicemente, hai condensato in un unico prodotto righe per colonne quello che io ho fatto separatamente.
grazie mille ora ho capito, sai per caso anche come trovare la distanza tra queste due rette?
r: $\{(x+2z=2),(3x+z=-1):}$
s: $\{(y+z=0),(x-3z=0):}$
r: $\{(x+2z=2),(3x+z=-1):}$
s: $\{(y+z=0),(x-3z=0):}$
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