Problema Vettori Linearmente Indipendenti/Dipendenti Sottoinsiemi
Buongiorno ragazzi, mi sono state assegnate le seguenti domande:
1)Sia A un insieme di vettori linearmente indipendenti, se B è un sottoinsieme di A non vuoto i suoi vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti?
Se B è un sottoinsieme A questo potrebbe contenere solo vettori linearmente indipendenti.
2)Sia A un insieme di vettori linearmente indipendenti, se C è un insieme che contiene A i suoi vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti?
Se C contiene A(insieme composto da vettori linearmente indipendenti) questo vuol dire che io per completare C devo aggiungere dei vettori ma di questi non so concretamente se siano linearmente indipendenti o meno.
3)Sia A un insieme di vettori linearmente dipendenti, se B è un sottoinsieme di A non vuoto i suoi vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti?
SE B è un sottoinsieme di A effettivamente non so se il vettore possa contenere vettori linearmente indipendenti o dipendenti (vuol dire togliere dei vettori)
4) Sia A un insieme di vettori linearmente dipendenti, se C è un insieme che contiene A i suoi vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti?
Se A è contenuto in C e A contiene vettori linearmente dipendenti sicuramente l'insieme C potrà solo contenere vettori linearmente dipendenti.
Potrebbero essere corrette le considerazioni che ho fatto?
grazie mille a tutti coloro che risponderanno!
1)Sia A un insieme di vettori linearmente indipendenti, se B è un sottoinsieme di A non vuoto i suoi vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti?
Se B è un sottoinsieme A questo potrebbe contenere solo vettori linearmente indipendenti.
2)Sia A un insieme di vettori linearmente indipendenti, se C è un insieme che contiene A i suoi vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti?
Se C contiene A(insieme composto da vettori linearmente indipendenti) questo vuol dire che io per completare C devo aggiungere dei vettori ma di questi non so concretamente se siano linearmente indipendenti o meno.
3)Sia A un insieme di vettori linearmente dipendenti, se B è un sottoinsieme di A non vuoto i suoi vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti?
SE B è un sottoinsieme di A effettivamente non so se il vettore possa contenere vettori linearmente indipendenti o dipendenti (vuol dire togliere dei vettori)
4) Sia A un insieme di vettori linearmente dipendenti, se C è un insieme che contiene A i suoi vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti?
Se A è contenuto in C e A contiene vettori linearmente dipendenti sicuramente l'insieme C potrà solo contenere vettori linearmente dipendenti.
Potrebbero essere corrette le considerazioni che ho fatto?
grazie mille a tutti coloro che risponderanno!
Risposte
La 1) e la 2) sono giuste. In particolare se ho un insieme l.i. e voglio prenderne una restrizione, avrò sempre un insieme l.i.; invece se voglio ampliare tale insieme, mantenendo la caratteristica di i.l., dovrò aggiungere vettori che non siano C.L. dei vettori contenuti nell'insieme di partenza.
Per quanto riguarda la 3) c'è da fare una piccola precisazione.
Restringendo sempre più un insieme l.d. (cioè scartando i vettori che sono C.L. degli altri) si arriverà ad avere, dopo un numero finito di passaggi, un insieme l.i.; infatti B, essendo non vuoto, conterrà almeno un vettore non nullo che è l.i.
Quindi, secondo me, la risposta dovrebbe essere che B potrebbe essere l.i., dipende cioè da come è stata fatta la restrizione.
Per la 4) nulla da eccepire!
Per quanto riguarda la 3) c'è da fare una piccola precisazione.
Restringendo sempre più un insieme l.d. (cioè scartando i vettori che sono C.L. degli altri) si arriverà ad avere, dopo un numero finito di passaggi, un insieme l.i.; infatti B, essendo non vuoto, conterrà almeno un vettore non nullo che è l.i.
Quindi, secondo me, la risposta dovrebbe essere che B potrebbe essere l.i., dipende cioè da come è stata fatta la restrizione.
Per la 4) nulla da eccepire!
Ok magma, grazie mille. Grazie per la 3 è ottima come precisazione. Posso chiederti un ulteriore dubbio che ho sul procedimento di un esercizio ? L'esercizio mi dice:
Data una Base $B=(\bar v_1, \bar v_2, \bar v_3)$ dove
$ \bar v_1 = (-1,-2-2k,-2) $ ;
$ \bar v_2 = (1,-2+2k,16) $ ;
$ \bar v_3 = (4,-7-k,8) $ in cui $k\in R$
1)per quali valori di k i vettori $ \bar v_1 , \bar v_2 , \bar v_3 $ sono linearmente dipendenti?
2) per i valori di k trovati nel punto 1) dimostrare che $B'=(\bar v_1,\bar v_2)$ è una base di $L(\bar v_1,\bar v_2,\bar v_3)$ e trovare le componenti di $\bar v_3$ rispetto a $B'$.
Per il punto 1) per verificare che siano lin. dipendenti, verifico che il det(A) dove $A= ( (-1,-2-2k,-2),(1,-2+2k,16),(4,-7-k,8) )$ sia uguale a zero .
Facendo ciò, riduco per righe cautamente fino ad ottenere (passaggi effettuati : $R_2= R_2+R_1$ e $ R_3=R_3+4R_1 $) che $ det(A)= -9k-15$ più precisamente $k= - 5/3$.
Quindi per $k=-5/3$ i vettori sono linearmente dipendenti , infatti la matrice ha $ rank(A)=2$.
Una volta risolto il primo punto, passo al secondo . Sostituisco il valore di $k$ ai vettori $ \bar v_1 , \bar v_2 , \bar v_3 $ e controllo se $B' $ è una base. Ma questo insieme lo è per forza in quanto $ \bar v_1 $ e $ \bar v_2 $ sono lin. indipendenti tra di loro e sono anche generatori. Fatto questo, non mi rimane che ricavarmi le componenti di $ \bar v_3 $ rispetto a B'.
Per ricavarle ho impostato tale condizione: $ \bar v_3= \lambda_1 \bar v_1 + \lambda_2 \bar v_2 $ , mi ricavo il sistema che esprimo tramite la matrice : $((-1,1,|4),(4/3,-16/3,|-16/3),(-2,16,|8))$ che riduco fino ad ottenere che $\lambda_1 = -4 $ e
$\lambda_2 = 0 $ . Per verificare ho sostituito $\lambda_1 = -4 $ e $\lambda_2 = 0 $ nel sistema e tutto torna.
E' corretto il modo di procedere?
scusa la lunghezza e grazie mille per la tua gentilezza!
Data una Base $B=(\bar v_1, \bar v_2, \bar v_3)$ dove
$ \bar v_1 = (-1,-2-2k,-2) $ ;
$ \bar v_2 = (1,-2+2k,16) $ ;
$ \bar v_3 = (4,-7-k,8) $ in cui $k\in R$
1)per quali valori di k i vettori $ \bar v_1 , \bar v_2 , \bar v_3 $ sono linearmente dipendenti?
2) per i valori di k trovati nel punto 1) dimostrare che $B'=(\bar v_1,\bar v_2)$ è una base di $L(\bar v_1,\bar v_2,\bar v_3)$ e trovare le componenti di $\bar v_3$ rispetto a $B'$.
Per il punto 1) per verificare che siano lin. dipendenti, verifico che il det(A) dove $A= ( (-1,-2-2k,-2),(1,-2+2k,16),(4,-7-k,8) )$ sia uguale a zero .
Facendo ciò, riduco per righe cautamente fino ad ottenere (passaggi effettuati : $R_2= R_2+R_1$ e $ R_3=R_3+4R_1 $) che $ det(A)= -9k-15$ più precisamente $k= - 5/3$.
Quindi per $k=-5/3$ i vettori sono linearmente dipendenti , infatti la matrice ha $ rank(A)=2$.
Una volta risolto il primo punto, passo al secondo . Sostituisco il valore di $k$ ai vettori $ \bar v_1 , \bar v_2 , \bar v_3 $ e controllo se $B' $ è una base. Ma questo insieme lo è per forza in quanto $ \bar v_1 $ e $ \bar v_2 $ sono lin. indipendenti tra di loro e sono anche generatori. Fatto questo, non mi rimane che ricavarmi le componenti di $ \bar v_3 $ rispetto a B'.
Per ricavarle ho impostato tale condizione: $ \bar v_3= \lambda_1 \bar v_1 + \lambda_2 \bar v_2 $ , mi ricavo il sistema che esprimo tramite la matrice : $((-1,1,|4),(4/3,-16/3,|-16/3),(-2,16,|8))$ che riduco fino ad ottenere che $\lambda_1 = -4 $ e
$\lambda_2 = 0 $ . Per verificare ho sostituito $\lambda_1 = -4 $ e $\lambda_2 = 0 $ nel sistema e tutto torna.
E' corretto il modo di procedere?
scusa la lunghezza e grazie mille per la tua gentilezza!
nessuno che possa aiutarmi? 
Ci sono un po' di cose che non mi tornano.
Il determinante è definito per matrici quadrate, quindi per verificare l'indipendenza lineare, al variare di $kin RR$, devi fare affidamento al solo rango della matrice (ottenibile riducendola per righe, come tu hai fatto).
Per quanto riguarda il punto due, i vettori dati appartengano a $RR^3$, pertanto $B'$ può essere l.i., ma non può costituire un insieme di generatori (ne mancherebbe uno); quindi $B'$ non è una base.
Tuttavia un insieme l.i. può sempre essere ampliato ad una base (stiamo parlando di insiemi finiti), aggiungendo vettori che non sia C.L. di quelli dati.
Il determinante è definito per matrici quadrate, quindi per verificare l'indipendenza lineare, al variare di $kin RR$, devi fare affidamento al solo rango della matrice (ottenibile riducendola per righe, come tu hai fatto).
Per quanto riguarda il punto due, i vettori dati appartengano a $RR^3$, pertanto $B'$ può essere l.i., ma non può costituire un insieme di generatori (ne mancherebbe uno); quindi $B'$ non è una base.
Tuttavia un insieme l.i. può sempre essere ampliato ad una base (stiamo parlando di insiemi finiti), aggiungendo vettori che non sia C.L. di quelli dati.
Ok perfetto, nel trovare le componenti di $ \bar v_3 $ rispetto $ B' $ ho impostato correttamente il sistema?
grazie mille
grazie mille
I calcoli non li ho verificati, ma il procedimento è giusto 
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