Problema Verifica Sottospazio Vettoriale
Ciao ragazzi, mi si chiede di verificare che i seguenti sottoinsiemi di R4 sono sottospazi vettoriali :
\(\displaystyle 1. W1 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1 +x_2 −x_3 +4x_4 = 0 \)
\(\displaystyle 2. W2 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1^2 +x_2^2 = 0 \)
\(\displaystyle 3. W3 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1^2 +x_2^2 +3x_3^2 +4x_4^2 = 0 \)
Per verifica ciò, controllo se la soluzione \(\displaystyle (0,0,0,0) \) verifica le equazioni. Questa soluzione vale per tuttie le equazioni dei sottoinsiemi \(\displaystyle W1,W2,W3 \).
Successivamente, lavoro nel caso \(\displaystyle W1 \), considero due vettori di W1 del tipo \(\displaystyle (u_1,u_2,u_3,u_4) \) e \(\displaystyle (v_1,v_2,v_3,v_4) \) ed infine verifico che il vettore \(\displaystyle (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3,u_4+v_4,) \) appartenga ancora ad \(\displaystyle W1 \). Solo che in questo caso, se io considero dei vettori del tipo \(\displaystyle (5,0,7,1)+ (-2,2,3,0) \) ottengo \(\displaystyle (3,2,10,1) \) che sostuititi ad \(\displaystyle x_1 +x_2 −x_3 +4x_4 = 0 \) ottengo \(\displaystyle 3+2-10+4=0 \) ma questo non è vero infatti \(\displaystyle -1 $!=$ 0 \).
Terza ed ultima proprietà considero un ultimo vettore ,come quello di prima per semplicità, \(\displaystyle (u_1,u_2,u_3,u_4) \) e uno scalare \(\displaystyle \alpha \in R\) tale che \(\displaystyle \alpha (u_1,u_2,u_3,u_4) \) cioè \(\displaystyle (\alpha u_1,\alpha u_2,\alpha u_3,\alpha u_4) \) \(\displaystyle \in W1 \). Prendiamo un vettore \(\displaystyle (1,2,-3,4) \) e \(\displaystyle \alpha=2 \) otteniamo che 2+4-6+8=0 ma questo non è vero, quindi concludo che W1 non è un sottospazio vettoriale con certezza. E' vero, ciò? Anche se essendo W1 un'equazione lineare omogenea dovrebbe essere un sottospazio vettoriale, anzi lo è , solo che non mi tornano i conti.
grazie mille a colore che risponderanno!
\(\displaystyle 1. W1 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1 +x_2 −x_3 +4x_4 = 0 \)
\(\displaystyle 2. W2 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1^2 +x_2^2 = 0 \)
\(\displaystyle 3. W3 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1^2 +x_2^2 +3x_3^2 +4x_4^2 = 0 \)
Per verifica ciò, controllo se la soluzione \(\displaystyle (0,0,0,0) \) verifica le equazioni. Questa soluzione vale per tuttie le equazioni dei sottoinsiemi \(\displaystyle W1,W2,W3 \).
Successivamente, lavoro nel caso \(\displaystyle W1 \), considero due vettori di W1 del tipo \(\displaystyle (u_1,u_2,u_3,u_4) \) e \(\displaystyle (v_1,v_2,v_3,v_4) \) ed infine verifico che il vettore \(\displaystyle (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3,u_4+v_4,) \) appartenga ancora ad \(\displaystyle W1 \). Solo che in questo caso, se io considero dei vettori del tipo \(\displaystyle (5,0,7,1)+ (-2,2,3,0) \) ottengo \(\displaystyle (3,2,10,1) \) che sostuititi ad \(\displaystyle x_1 +x_2 −x_3 +4x_4 = 0 \) ottengo \(\displaystyle 3+2-10+4=0 \) ma questo non è vero infatti \(\displaystyle -1 $!=$ 0 \).
Terza ed ultima proprietà considero un ultimo vettore ,come quello di prima per semplicità, \(\displaystyle (u_1,u_2,u_3,u_4) \) e uno scalare \(\displaystyle \alpha \in R\) tale che \(\displaystyle \alpha (u_1,u_2,u_3,u_4) \) cioè \(\displaystyle (\alpha u_1,\alpha u_2,\alpha u_3,\alpha u_4) \) \(\displaystyle \in W1 \). Prendiamo un vettore \(\displaystyle (1,2,-3,4) \) e \(\displaystyle \alpha=2 \) otteniamo che 2+4-6+8=0 ma questo non è vero, quindi concludo che W1 non è un sottospazio vettoriale con certezza. E' vero, ciò? Anche se essendo W1 un'equazione lineare omogenea dovrebbe essere un sottospazio vettoriale, anzi lo è , solo che non mi tornano i conti.
grazie mille a colore che risponderanno!
Risposte
$W_1$ è un sottospazio vettoriale, perchè è il nucleo di un funzionale lineare, cioè è il nucleo di un'applicazine lineare $L:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}$ così definita: $L(x_1,x_2,x_3,x_4):=x_1+x_2-x_3+4x_4$.
In realtà lo sono anche tutti gli altri per l'analogo motivo.
Ora ti vorrei chiedere: quali sono gli assiomi di sottospazio vettoriale? perchè ho il dubbio che ti sia sfuggito qualcosa!
(Suggerimento:
Questi due, cioè $(5,0,7,1)$ e $(-2,2,3,0)$, con quale criterio li hai scelti? Ti sembrano compatibili con due vettori della definizione di sottospazio? E poi, ammesso che avessero funzionato, questi due avrebbero esaurito tutti i casi?)
In realtà lo sono anche tutti gli altri per l'analogo motivo.
Ora ti vorrei chiedere: quali sono gli assiomi di sottospazio vettoriale? perchè ho il dubbio che ti sia sfuggito qualcosa!
(Suggerimento:
"Dave95":
lavoro nel caso \( \displaystyle W1 \), considero due vettori di W1 del tipo \( \displaystyle (u_1,u_2,u_3,u_4) \) e \( \displaystyle (v_1,v_2,v_3,v_4) \) ed infine verifico che il vettore \( \displaystyle (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3,u_4+v_4,) \) appartenga ancora ad \( \displaystyle W1 \).
"Dave95":
in questo caso, se io considero dei vettori del tipo \( \displaystyle (5,0,7,1)+ (-2,2,3,0) \) ottengo \( \displaystyle (3,2,10,1) \) che sostuititi ad \( \displaystyle x_1 +x_2 −x_3 +4x_4 = 0 \) ottengo \( \displaystyle 3+2-10+4=0 \) ma questo non è vero infatti \( \displaystyle -1 $!=$ 0 \).
Questi due, cioè $(5,0,7,1)$ e $(-2,2,3,0)$, con quale criterio li hai scelti? Ti sembrano compatibili con due vettori della definizione di sottospazio? E poi, ammesso che avessero funzionato, questi due avrebbero esaurito tutti i casi?)
Esatto, Isaac888 sicuramente mi è sfuggito il criterio con cui ho scelto i vettori in quanto la professoressa per dimostrare che non fosse uno spazio vettoriale aveva sostenuto di scegliere a caso due vettori in un esempio da lei fornito a lezione.
Questo effettivamente mi aveva in crisi ed è per questo che ho chiesto.
Cosa mi consigli? Come posso scegliere dei vettori che possano esaurire tutti i casi e che siano compatibili con la definizione di sottospazio (cioè, chiuso rispetto alla somma tra vettori e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare)?
grazie mille, gentilissimo!
Questo effettivamente mi aveva in crisi ed è per questo che ho chiesto.
Cosa mi consigli? Come posso scegliere dei vettori che possano esaurire tutti i casi e che siano compatibili con la definizione di sottospazio (cioè, chiuso rispetto alla somma tra vettori e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare)?
grazie mille, gentilissimo!
"Dave95":
la professoressa per dimostrare che non fosse uno spazio vettoriale aveva sostenuto di scegliere a caso due vettori in un esempio da lei fornito a lezione.
La professoressa non ha avuto torto! E' giusto quello che dice! I vettori, però, vanno sì presi a caso, ma dentro $W_1$. Quando un vettore si può dire che appartiene a $W_1$? I vettori che avevi scelto tu ci appartenevano? Esiste un modo per trovare "come è fatto" un generico vettore che appartiene a $W_1$ (cioè come si scrivono le sue eventuali coordinate)?
Solo quando avrai trovato come si scrivono in generale potrai prendere due generici vettori di $W_1$, farne la somma, e verificare che questa si scrive ancora nella forma di un generico vettore di $W_1$.
Così per gli altri, e per le altre verifiche.
Prendi un generico vettore di $\mathbb{R}^4$, diciamo $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$. Imponi che appartenga a $W_1$. Da qui, in funzione di $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$, scrivi quali dovranno essere le sue coordinate per appartenere a $W_1$.
"Dave95":
grazie mille, gentilissimo!
Di nulla
! Prova a fare da solo. Se non ci riesci mi dici dov'è che non riesci e ti do qualche altra dritta!
E' corretto affermare che un vettore appartiene nel nostro caso a \(\displaystyle W_1 \) se e solo se è possibile fare una combinazione lineare ?
Per caso Isaac888 potresti farmi un esempio di due generici vettori che appartengano ad W_1 ? non so, ma causa l'ora e tante ore di studio mi viene difficile al momento ragionarci benissimo.
scusami il disturbo e grazie mille per la tua disponibilità.
Per caso Isaac888 potresti farmi un esempio di due generici vettori che appartengano ad W_1 ? non so, ma causa l'ora e tante ore di studio mi viene difficile al momento ragionarci benissimo.
scusami il disturbo e grazie mille per la tua disponibilità.
"Dave95":
E' corretto affermare che un vettore appartiene nel nostro caso a \(\displaystyle W_1 \) se e solo se è possibile fare una combinazione lineare ?
Non è molto chiaro, almeno a mio parere
"Dave95":
esempio di due generici vettori che appartengano ad W_1 ?
$W_1: =( (x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 | x_1 +x_2 −x_3 +4x_4 = 0 )$: il sottospazio contiene tutti quei vettori che sono soluzione del sistema lineare omogeneo.
L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio? 
"Magma":
$W_1: =( (x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 | x_1 +x_2 −x_3 +4x_4 = 0 )$: il sottospazio contiene tutti quei vettori che sono soluzione del sistema lineare omogeneo.
Già, effettivamente è un altro modo (il più adatto, anche secondo me!) per affrontare la questione giustamente. E' più astratto, ma è "paradossalmente" più semplice!
Quello che vuole dire magma è: "assumiamo che due vettori $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ e $(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ siano soluzione del sistema. Allora (alla luce di quello che di ha detto magma sulla natura dei vettori di $W_1$) cosa sai dire di $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)+(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$?"
Cerca di rispondere alla domanda che ti ha fatto, perchè è molto importante che tu sappia rispondere.
"Dave95":
Per caso Isaac888 potresti farmi un esempio di due generici vettori che appartengano ad W_1 ?
Se vuoi però provare con l'approccio che dicevo io (ti consiglio di provarlo comunque perchè è istruttivo!) ti do l'idea, ma su un altro problema però:
Supponiamo che io voglia trovare il generico vettore $(y_1,y_2)$ che appartiene a questo sottoinsieme $U:={(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2|x_1+x_2=0}$.
Come deve essere fatto $(y_1,y_2)$? Quando sostituisco $y_1$ al posto di $x_1$ e $y_2$ al posto di $x_2$ deve succedere che $y_1+y_2=0$. Come è fatto $y_1$? Semplice: $y_1 = - y_2$ ed $y_2$ può variare libero in $\mathbb{R}$, visto che non ci sono altre condizioni (le incognite sono due mentre l'equazione è una sola!). Quindi: $(y_1,y_2)=(-y_2,y_2)$, $\forall y_2 \in \mathbb{R}$ se vogliamo che $(y_1,y_2)$ sia tale che $y_1+y_2=0$ (cioè che $(y_1,y_2)\in U$).
Prova a prendere un qualsiasi $y_2\in \mathbb{R}$ e verifica se il punto $(-y_2,y_2)\in U$...
OSS1:
Questo ti permette addirittura di trovare la base di $U$, sai perchè? Perchè i punti che soddisfano l'equazione di $U$ sono tutti e soli quelli della forma $(-\alpha,\alpha)$ al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$.
Allora abbiamo scoperto che $U={(-\alpha,\alpha)|\alpha\in\mathbb{R}}={(\alpha(-1,1)|\alpha\in\mathbb{R}}$.
E questi non sono tutte le combinazioni lineari possibili del solo vettore $(-1,1)$? Allora $U=Span((1,-1))$. Dunque ${(-1,1)}$ è una base (perchè?) per $U$.
OSS2:
Prendere due generici vettori di $U$ significa prendere $v=\alpha(-1,1)$ per un certo $\alpha \in \mathbb{R}$ e $w=\beta(-1,1)$ per un certo $\beta \in \mathbb{R}$. (Sono $\alpha$ e $\beta$ che sono presi a caso in $\mathbb{R}$!)
Ora, la somma $v+w$ sta in $U$? giustifica la risposta!
Isaac888 ti ringrazio veramente per la tua gentilezza e disponibilità, oggi ho risolto tutti gli esercizi con il tutore del corso con i miei dubbi! Sei unico 
grazie grazie e grazie!
grazie grazie e grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo