Problema veloce di algebra lineare!!!

[stagnomaur]

Ragazzi ho un problema che non riesco assolutamente a risolvere, non so proprio da dove cominciare. Qualcuno riesce a darmi una mano?

E' data la trasformazione lineare ´ T : R2 → R2
definita da
T((x, y)) = (x − y, −x + 3y).
Attraverso la similitudine di matrici, determinare la matrice associata a T rispetto
alla base B = ((1, 2),(2, −2)) di R2.

[garnak.olegovitc1]

"Matte":Ragazzi ho un problema che non riesco assolutamente a risolvere, non so proprio da dove cominciare. Qualcuno riesce a darmi una mano?

E' data la trasformazione lineare ´ T : R2 → R2
definita da
T((x, y)) = (x − y, −x + 3y).
Attraverso la similitudine di matrici, determinare la matrice associata a T rispetto
alla base B = ((1, 2),(2, −2)) di R2.

cosa é una matrice associata ad un omomorfismo?

[cooper1]

consideriamo la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di $RR^2$ data da:
$ M:= ( ( 1 , -1 ),( -1 , 3 ) ) $
la matrice che invece ha per colonne i vettori della base B (che chiamo $A_B$) è la matrice che effettua il passaggio dalla base B a quella canonica. l'inversa di questa matrice (che chiamo $A_C$) invece rappresenta il passaggio dalla base canonica a B.
a questo punto il gioco è fatto perchè la matrice rappresentativa che cerchi si scrive come:

$M_B = A_C M A_B$

EDIT: mi hanno anticipato

[stagnomaur]

Cooper grazie per l'aiuto. scusa per la domanda un po' sciocca, ma potresti rappresentarmi dal punto di vista pratico questo ragionamento che hai fatto:
"la matrice che invece ha per colonne i vettori della base B (che chiamo AB) è la matrice che effettua il passaggio dalla base B a quella canonica. l'inversa di questa matrice (che chiamo AC) invece rappresenta il passaggio dalla base canonica a B.
a questo punto il gioco è fatto perchè la matrice rappresentativa che cerchi si scrive come:
MB=ACMAB"

Perchè il ragionamento non mi è tanto chiaro, invece se riusciresti a rappresentarmi il discorso mettendo in risalto le matrici con i calcoli, sono sicuro di riuscire a capire il ragionamento! Se riesci, mi fai un grosso favore!!!

[cooper1]

la matrice che effettua il passaggio dalla base B a quella canonica è:
$ A_B = ( ( 1 , 2 ),( 2 , -2 ) ) $
la matrice che invece effettua il passaggio dalla base canonica a B, che è poi l'inversa di $A_B$, è:
$ A_C = ( ( 1/3 , 1/3 ),( 1/3 , -1/6 ) ) $
la matrice rappresentativa che allora cerchi è data da:
$ M_B =A_C M A_B = ( ( 1/3 , 1/3 ),( 1/3 , -1/6 ) )*( ( 1 , -1 ),( -1 , 3 ) ) *( ( 1 , 2 ),( 2 , -2 ) ) $

[stagnomaur]

Grazie mille, sei stato chiarissimo, ora ho capito tutto il procedimento!

[cooper1]

figurati