Problema urgente su endomorfismi semplici

[ing.27]

salve a tutti ho un urgentissimo problema riguardante le matrici associate ad un endomorfismo semplice:
La definizione recita che " sia f un applicazione lineare definita da V a W con B e C basi di V e W la matrice associata ad essa ha sulle sue colonne le componenti delle immagini dei vettori di B rispetto alla base C"
come ho sempre visto fare dunue prendo il primo vettore della base B rispetto alla sua stessa base : sia ad esempio v=(2,4,6,8) sulla sua base ha componenti (1,0,0,0) per esempio ne faccio l'immagine e poi metto sulla colonna della matrice le componenti rispetto alla base C

ora secondo la definizione di autovettore f(w) (autovettore di autovalore b) = bw dunque la matrice associata all'endomorfismo semplice rispetto ad una base B di autovettori ha sulla diagonale gli autovalori ripetuti per la loro molteplicità.

e fin qui sono definizioni, ma se io provo a far combaciare le due non mi tornano i conti:

sia f un endomorfismo semplice:
f(x,y,z,t) = (x-t,y+t,2z,-x+y)
ho calcolato che ha autovalori :
-1 con molt 1
1 con molt 1
2 con molt 2

i rispettivi autospazi hanno base:
AUTO(-1) (1/2,-1/2,0,1)
AUTO (1) (1,1,0,0)
AUTO (2) ((-1,1,0,1),(0,0,1,0)

e sono giusti poichè verifico che ad esempio
f(-1,1,0,1) = (-2,2,0,2)

ora devo calcolare la matrice dell'endomorfismo associato alla basa B composta da autovettori
((1/2,-1/2,0,1),(1,1,0,0),(-1,1,0,1),(0,0,1,0))


ma se io prendo la definizione "sia f un applicazione lineare definita da V a W con B e C basi di V e W la matrice associata ad essa ha sulle sue colonne le componenti delle immagini dei vettori di B rispetto alla base C"

prendo il primo vettore di B rispetto alla sua base diventa (1,0,0,0) ne faccio l'immagine, diventa (1,0,0,-1) e ne trovo le sue componenti rispetto alla base B
\[ f (\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}) = a \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\0\\1 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}
\]

il cui risulato non è (1,0,0,0) come per la seconda definizione dovrebbe essere dato che è un autovettore di autovalore 1

[ing.27]

perfavore sto preparando l'esame di geometria 1

[Sk_Anonymous]

Prima due cose.
L'autovalore relativo al primo componente di B è -1 e non 1.
Della base C non v'è traccia e quindi devo supporre che la base B agisca nel dominio come nel codominio.

Detto questo, mi pare che l'errore stia nel prendere il vettore delle coordinate di $(1/2,-1/2,0,1)^T $ rispetto alla base B ( che è ovviamente $(1,0,0,0))$, trovare l'immagine di tale vettore ed infine esprimere questa immagine nuovamente nella base B. Che io sappia si deve invece fare così: calcolare direttamente l'immagine di $(1/2,-1/2,0,1)^T $ e poi trovare le coordinate di tale immagine rispetto alla base B.
Se si agisce in tal modo si trova che :
$f((1/2,-1/2,0,1)^T) = (-1/2,1/2,0,-1)^T=-1\cdot(1/2,-1/2,0,1)^T $
Il vettore delle coordinate dell'ultimo calcolo rispetto a B è chiaramente $(-1,0,0,0)^T$ , come deve essere.
Analogamente per gli altri componenti di B.

[ing.27]

"ciromario":Prima due cose.
L'autovalore relativo al primo componente di B è -1 e non 1.
Della base C non v'è traccia e quindi devo supporre che la base B agisca nel dominio come nel codominio.

si l'ultimo è stato un errore di battitura prima infatti l'avevo scritto giusto riguardo la "base C" era una definizione riportata dal mio libro di geometria essendo un endomorfismo la base C è di fatto B.....

riguardo alla soluzione da te proposta nonostante i conti siano giusti in ogni matrice che il professore ci dava spiegava esplicitamente questa regola prendendo il vettore "sulla sua stessa base".
una spiegazione plausubile non pò essere che:
- essendo la matrice in base B diversa da quella in base E (canonica) fermo restando che rimanga un autovetore si ristroverà che f(v) = bv solo se v è scritto in base E (un esercizio che ho svolto di recente sempre su endomorfismi semplici faceva vedere questo) \( v \rightarrow v_{b}^{} (\text{ base B}) \rightarrow f( v_{b}^{} ) = w_{b}^{} \rightarrow \lambda v \) ?