Problema topologia, funzioni continue

[trefe.ra4]

Salve a tutti, sto preparando l'esame di topologia e facendo alcuni esercizi mi sono inbattuto in questo:
sia $E$ la topologia euclidea, provare che se $f:(RR,E)->(RR,E)$ è continua tale che $f(q)=0, AA q in QQ $, allora necessariamente si ha $f(x)=0, AA x in RR $.

Mi è subito venuto in mente che se una funzione è continua allora è continua anche per successioni e visto che ogni numero irrazionale si può scrivere come una successione di numeri razionali, mi chiedevo se basta questo per concludere...in pratica io vorrei scrivere $x=q(n), AA x in RR$ quindi $f(x)=f(q(n))=0 AA n in NN$ quindi concludo che l'impliazione è vera.
Mi sembra però un po' troppo banale, dov'è che sbaglio ammesso che stia facendo un qualche errore?

[girdav]

L'idea è giusta (tramite che bisogna scrivere $x=\lim_n q(n)$ e $f(x)=\lim_n f(q_n)$.

[trefe.ra4]

Si ok, era quello che avevo in mente anche io...naturalmente se fossi stato su un compito avrei formalizzato meglio...almeno spero..!!!
L'unico dubbio che avevo era se $lim_(n->oo) f(q_n)$ fosse ancora uguale a zero...io mi ero risposto di si perchè $AA n, q_n in QQ$, ma non sapevo se c'era qualcosa che mi sfuggisse e che intralciava questa deduzione! invece tu mi confermi che è giusto quindi?

[girdav]

Sì, secondo me è giusto.