Problema teorema di Laplace!
Salve a tutti, scusate l'ora tarda. Ho un dubbio che riguarda il calcolo del determinante di una matrice nxn con Laplace.
L'esercizio dice
Assegnata la Matrice:
$A = ((1,2,3,-1),(0,λ,2,1),(1,-1,0,2),(2λ,0,6λ,0))$
dire per quali valori reali del parametro λ la matrice A è invertibile e determinarne in corrispondenza l'inversa
Ecco il mio procedimento:
la matrice deve avere almeno rango 1 e al più rango 4. Dopo aver scoperto che ha almeno rango 3 procedo al calcolo del determinante della matrice 4x4
per prima cosa estraggo il coefficiente λ dalla quarta riga e lo metto fuori moltiplicandolo poi per il determinante che uscirà. La matrice si presenta ora nella forma
$A = ((1,2,3,-1),(0,λ,2,1),(1,-1,0,2),(2,0,6,0))$
utilizzo allora Laplace puntando sulla quarta riga, successivamente utilizzo la regola di Sarrus nella matrice 3x3 risultante per i valori corrispondenti a 2 e 6. In calcoli:
$det(A) = λ(-2(8-3-2-6λ)-6(2λ+2+λ+1)) = -24λ - 6λ*λ$
il risultato è corretto, dunque calcolo i valori di λ per cui il determinante della matrice va a 0
$-24λ -6λ*λ = 0 $; ecc. ecc.
il punto è che se voglio utilizzare, invece della regola di Sarrus, un'ulteriore Laplace nella matrice 3x3 il risultato non mi esce, qualcuno mi sa spiegare perchè?
Ecco alcuni calcoli errati con il doppio laplace:
$det(A) = λ(-2(1(3+2)-2(4-3λ))-6(1(2λ+1)+1(2+λ))) = -12λ -30λ*λ$
dove sbaglio?
grazie in anticipo per le risposte
L'esercizio dice
Assegnata la Matrice:
$A = ((1,2,3,-1),(0,λ,2,1),(1,-1,0,2),(2λ,0,6λ,0))$
dire per quali valori reali del parametro λ la matrice A è invertibile e determinarne in corrispondenza l'inversa
Ecco il mio procedimento:
la matrice deve avere almeno rango 1 e al più rango 4. Dopo aver scoperto che ha almeno rango 3 procedo al calcolo del determinante della matrice 4x4
per prima cosa estraggo il coefficiente λ dalla quarta riga e lo metto fuori moltiplicandolo poi per il determinante che uscirà. La matrice si presenta ora nella forma
$A = ((1,2,3,-1),(0,λ,2,1),(1,-1,0,2),(2,0,6,0))$
utilizzo allora Laplace puntando sulla quarta riga, successivamente utilizzo la regola di Sarrus nella matrice 3x3 risultante per i valori corrispondenti a 2 e 6. In calcoli:
$det(A) = λ(-2(8-3-2-6λ)-6(2λ+2+λ+1)) = -24λ - 6λ*λ$
il risultato è corretto, dunque calcolo i valori di λ per cui il determinante della matrice va a 0
$-24λ -6λ*λ = 0 $; ecc. ecc.
il punto è che se voglio utilizzare, invece della regola di Sarrus, un'ulteriore Laplace nella matrice 3x3 il risultato non mi esce, qualcuno mi sa spiegare perchè?
Ecco alcuni calcoli errati con il doppio laplace:
$det(A) = λ(-2(1(3+2)-2(4-3λ))-6(1(2λ+1)+1(2+λ))) = -12λ -30λ*λ$
dove sbaglio?
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
"Lehor":
il punto è che se voglio utilizzare, invece della regola di Sarrus, un'ulteriore Laplace nella matrice 3x3 il risultato non mi esce, qualcuno mi sa spiegare perchè?
Ecco alcuni calcoli errati con il doppio laplace:
$det(A) = λ(-2(1(3+2)-2(4-3λ))-6(1(2λ+1)+1(2+λ))) = -12λ -30λ*λ$
dove sbaglio?
grazie in anticipo per le risposte
Sbagli a calcolare i segni $(-1)^(i+j)$
Quando consideri le matrici 3x3 (i minori complementari) non devi più pensarle come se fossero "immerse" nella 4x4 con le relative posizioni $i$ e $j$. La matrice 3x3 (oppure 2x2) diventa una matrice a se stante per cui la numerazione di righe e colonne ricomincia da 1,1 in alto a sinistra.
I segni corretti sono questi:
$det(A) = λ(2(1(3+2)+2(4-3λ))-6(1(2λ+1)+1(2+λ))) $
nota: ci sono altri errori nella seconda parentesi che non ho corretto..
Sbagli a calcolare i segni (−1)i+j
Quando consideri le matrici 3x3 (i minori complementari) non devi più pensarle come se fossero "immerse" nella 4x4 con le relative posizioni i e j. La matrice 3x3 (oppure 2x2) diventa una matrice a se stante per cui la numerazione di righe e colonne ricomincia da 1,1 in alto a sinistra.
I segni corretti sono questi:
det(A)=λ(2(1(3+2)+2(4−3λ))−6(1(2λ+1)+1(2+λ)))
nota: ci sono altri errori nella seconda parentesi che non ho corretto..
Grazie Quinzio sei stato chiarissimo
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