Problema sull'iperbole equilatera III Liceo Scientifico
Ciao a tutti. Spero possiate aiutarmi su questo problema perché mi sono bloccato completamente.
Un'iperbole equilatera $\gamma$, avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, passa per i punti $A(2,1)$, $B(0,-1)$ ed è priva di punti di intersezione con l'asse x.
Dopo avere scritto l'equazione di $\gamma$, considera su $\gamma$ un punto $P$ di ascissa x e indica con $H$ e $K$ le proiezioni di $P$, rispettivamente, sull'asintoto orizzontale di $\gamma$ e sulla parallela all'asse x passante per $B$. Determina l'espressione analitica della funzione $y=\bar{PH}+\bar{PK}$ e tracciane il grafico.
Non sono riuscito a trovare l'equazione dell'iperbole equilatera che deve essere $y=1/(x-1)$ e proprio non capisco dove sbaglio.
Sono partito dal presupposto che si tratta di una funzione omografica; quindi dovrebbe essere semplice ma mi perdo qualcosa.
Mi aiutate?
Grazie
Raffaele
Un'iperbole equilatera $\gamma$, avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, passa per i punti $A(2,1)$, $B(0,-1)$ ed è priva di punti di intersezione con l'asse x.
Dopo avere scritto l'equazione di $\gamma$, considera su $\gamma$ un punto $P$ di ascissa x e indica con $H$ e $K$ le proiezioni di $P$, rispettivamente, sull'asintoto orizzontale di $\gamma$ e sulla parallela all'asse x passante per $B$. Determina l'espressione analitica della funzione $y=\bar{PH}+\bar{PK}$ e tracciane il grafico.
Non sono riuscito a trovare l'equazione dell'iperbole equilatera che deve essere $y=1/(x-1)$ e proprio non capisco dove sbaglio.
Sono partito dal presupposto che si tratta di una funzione omografica; quindi dovrebbe essere semplice ma mi perdo qualcosa.
Mi aiutate?
Grazie
Raffaele
Risposte
Un'iperbole del genere ha equazione $ (x-a)(y-b)=k $, dove $ (a,b) $ sono le coordinate del vettore traslazione. Da lì ricavi che $ y=(k-ab+bx)/(x-a) $ ma, sapendo che il numeratore non si può annullare (altrimenti $ y=0 $ e l'iperbole interseca l'asse delle ascisse), deve essere $ b=0 $, infatti se al numeratore hai un numero reale $ k $, qualunque esso sia, per qualsiasi valore di $ x $ la frazione non varrà mai $ 0 $. Dunque sostituisci le coordinate dei punti dati all'equazione $ (x-a)y=k $, e ottieni che $ k=1 $ e $ a=1 $, e avrai che $ y=1/(x-1) $
Grazie. Ora mi è chiaro.
Proverò ora a dimpostare la seconda parte del problema.
Raffaele
Proverò ora a dimpostare la seconda parte del problema.
Raffaele
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