Problema sulle trasformazioni lineari! aiutoo
Non riesco a capire come risolvere questo problema, qualcuno sa farlo?
Date le seguenti trasformazioni lineari, determinare, al variare del parametro λ ∈ R, la dimensione del nucleo e dell’immagine:
fλ : R3 → R4, fλ(x, y, z) = (x − y + (1 − λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z)
gλ : R4 → R3, gλ(x, y, z, t) = (λx, y − t, 2x + λz)
Date le seguenti trasformazioni lineari, determinare, al variare del parametro λ ∈ R, la dimensione del nucleo e dell’immagine:
fλ : R3 → R4, fλ(x, y, z) = (x − y + (1 − λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z)
gλ : R4 → R3, gλ(x, y, z, t) = (λx, y − t, 2x + λz)
Risposte
dove esattamente incontri difficoltà? basta scrivere la matrice associata alle due trasformazioni e risolvere il sistema omogeneo per trovare il nucleo ed hai finito.
nota che dato che chiede solo le dimensione per il teorema di nullità + rango basta che trovi la dimensione di uno dei due e hai finito.
nota che dato che chiede solo le dimensione per il teorema di nullità + rango basta che trovi la dimensione di uno dei due e hai finito.
"Matte":
Non riesco a capire come risolvere questo problema, qualcuno sa farlo?
Date le seguenti trasformazioni lineari, determinare, al variare del parametro λ ∈ R, la dimensione del nucleo e dell’immagine:
fλ : R3 → R4, fλ(x, y, z) = (x − y + (1 − λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z)
gλ : R4 → R3, gλ(x, y, z, t) = (λx, y − t, 2x + λz)
devi applicare semplicemente le definizioni, nel ricavare di solito gli elementi di un insieme si prende uno di esso e si vede cosa succede, quindi ad esempio prendi un \(\Bbb{R}^3\ni (x,y,z) \in \ker(f_\lambda)\) ed usa la definizione con l ipotesi dell esercizio e ti assicuro che alcuni passaggi verrano soli (poi magari devi applicare qualcosa di teoria, ma inizia cosí almeno.. )
Cooper, io trovo molta difficoltà a impostarlo dal punto di vista pratico. Per capire questi tipi di problemi, avrei proprio bisogno dell'impostazione con le matrici e cosa devo fare, cioè una piccola discussione a fianco. Per quanto riguarda i calcoli del problema in sè, mi arrangio da solo..
cosa devi fare te l'ho già detto...
1. scrivi la matrice rappresentativa (per esempio dato che non è specificato rispetto alla base canonica che in questo caso è super-immediata)
2. a questo punto ottieni un sistema lineare omogeneo del tipo
$ A_g vecx =vec0 $ che scritta esplicitamente è qualcosa del tipo $ ( ( a , b , c ),( d , e , f ),( g , h , i ) ) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $
non hanno le dimensioni giuste, almeno per il primo problema era per farti capire
3. estrai una base dal sistema lineare omogeneo associato.
PS: sei sicuro che gli spazi d'arrivo siano corretti? a me quelli sembrano endomorfismi.
1. scrivi la matrice rappresentativa (per esempio dato che non è specificato rispetto alla base canonica che in questo caso è super-immediata)
2. a questo punto ottieni un sistema lineare omogeneo del tipo
$ A_g vecx =vec0 $ che scritta esplicitamente è qualcosa del tipo $ ( ( a , b , c ),( d , e , f ),( g , h , i ) ) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $
non hanno le dimensioni giuste, almeno per il primo problema era per farti capire
3. estrai una base dal sistema lineare omogeneo associato.
PS: sei sicuro che gli spazi d'arrivo siano corretti? a me quelli sembrano endomorfismi.
Si, sono sicuro che gli spazi d'arrivo siano corretti
perdonami ma non possono esserlo. il primo forse ma il secondo certamente no:
se lo spazio d'arrivo fosse $RR^4$ allora alle immagini dei vettori mancherebbe una variabile (la $t$ per esempio). qui poco male al massimo aggiungiamo una riga di tutti zeri.
ma qui:
nelle immagini ci sono 4 variabili in gioco: come fa ad essere $RR^3$ lo spazio d'arrivo?
"Matte":
fλ : R3 → R4, fλ(x, y, z) = (x − y + (1 − λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z)
se lo spazio d'arrivo fosse $RR^4$ allora alle immagini dei vettori mancherebbe una variabile (la $t$ per esempio). qui poco male al massimo aggiungiamo una riga di tutti zeri.
ma qui:
"Matte":
gλ : R4 → R3, gλ(x, y, z, t) = (λx, y − t, 2x + λz)
nelle immagini ci sono 4 variabili in gioco: come fa ad essere $RR^3$ lo spazio d'arrivo?
"cooper":
perdonami ma non possono esserlo. il primo forse ma il secondo certamente no:
[quote="Matte"]fλ : R3 → R4, fλ(x, y, z) = (x − y + (1 − λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z)
se lo spazio d'arrivo fosse $RR^4$ allora alle immagini dei vettori mancherebbe una variabile (la $t$ per esempio). qui poco male al massimo aggiungiamo una riga di tutti zeri.
ma qui:
"Matte":
gλ : R4 → R3, gλ(x, y, z, t) = (λx, y − t, 2x + λz)
nelle immagini ci sono 4 variabili in gioco: come fa ad essere $RR^3$ lo spazio d'arrivo?[/quote]
sará l orario, intendi ad esempio che questa applicazione lineare é mal definita \(f : \Bbb{R}^4 \to \Bbb{R}^2\) con \(f((x, y, z, t))=(x + y + z,y + z + t)\)
mi devo essere fuso il cervello in effetti. 
cosa c'entrano le variabili lo so solo io.
@Matte,
proviamo a dare un input per \(f_\lambda\) con \(\lambda \in \Bbb{R}\), noi sappiamo che $$v \in \ker(f_\lambda) \leftrightarrow v \in \Bbb{R}^3 \wedge f_\lambda(v)=0_{\Bbb{R}^4}:=(0,0,0,0)$$ quindi ti basta eguagliare l immagine generica cosí $$f_\lambda(v)=f_\lambda((x,z,y))=(x − y + (1 − \lambda )z, \lambda x + 2y + \lambda z, 2x, \lambda y + 2z)=(0,0,0,0)$$ otterrai un sistema lineare omogeneo di incognite \(x,y,z\) (quelle che a noi servono per determinare il generico vettore \(\ker(f_\lambda)\ni v=(x,y,z) \in \Bbb{R}^3\)), associ a tale sistema la matrice (incompleta) (poiché quella completa non ha in questo caso ruolo alcuno) e valuti il rango di essa (se il rango é maggiore o uguale al numero delle colonne della matrice allora la soluzione é unica ed é quella banale, ovvero \(v=(x,y,z)=(0,0,0) \in \Bbb{R}^3\), in caso contrario "bhé continua, lavora sui minori e determinante di questi.... sicuramente ció dipenderá dal parametro \(\lambda\) tanto per non fare le cose facilissime")
proviamo a dare un input per \(f_\lambda\) con \(\lambda \in \Bbb{R}\), noi sappiamo che $$v \in \ker(f_\lambda) \leftrightarrow v \in \Bbb{R}^3 \wedge f_\lambda(v)=0_{\Bbb{R}^4}:=(0,0,0,0)$$ quindi ti basta eguagliare l immagine generica cosí $$f_\lambda(v)=f_\lambda((x,z,y))=(x − y + (1 − \lambda )z, \lambda x + 2y + \lambda z, 2x, \lambda y + 2z)=(0,0,0,0)$$ otterrai un sistema lineare omogeneo di incognite \(x,y,z\) (quelle che a noi servono per determinare il generico vettore \(\ker(f_\lambda)\ni v=(x,y,z) \in \Bbb{R}^3\)), associ a tale sistema la matrice (incompleta) (poiché quella completa non ha in questo caso ruolo alcuno) e valuti il rango di essa (se il rango é maggiore o uguale al numero delle colonne della matrice allora la soluzione é unica ed é quella banale, ovvero \(v=(x,y,z)=(0,0,0) \in \Bbb{R}^3\), in caso contrario "bhé continua, lavora sui minori e determinante di questi.... sicuramente ció dipenderá dal parametro \(\lambda\) tanto per non fare le cose facilissime")
@garnak.olegovitc
Ho seguito molto bene il tuo ragionamento. Correggimi se sbaglio:
io ho capito che studiando il rango, che quindi sarà 3 (in base a un certo parametro) ottengo la dimensione dell'immagine (perchè il rango di una matrice è uguale alla dimensione dell'immagine).
Infine, avendo la dimensione dell'immagine e la dimensione dello spazio di partenza (che in questo caso è 3 perchè è una trasformazione da R^3 in R^4 ) posso utilizzare l'equazione dimensionale ( in cui mi dice che dimV= dim KerT + dim ImT ) e ricavare di conseguenza la dimensione del nucleo.
Però questo ragionamento un po' mi sbalordisce perchè arrivo a concludere che il nucleo ha dimensione zero.
Ho seguito molto bene il tuo ragionamento. Correggimi se sbaglio:
io ho capito che studiando il rango, che quindi sarà 3 (in base a un certo parametro) ottengo la dimensione dell'immagine (perchè il rango di una matrice è uguale alla dimensione dell'immagine).
Infine, avendo la dimensione dell'immagine e la dimensione dello spazio di partenza (che in questo caso è 3 perchè è una trasformazione da R^3 in R^4 ) posso utilizzare l'equazione dimensionale ( in cui mi dice che dimV= dim KerT + dim ImT ) e ricavare di conseguenza la dimensione del nucleo.
Però questo ragionamento un po' mi sbalordisce perchè arrivo a concludere che il nucleo ha dimensione zero.
"Matte":non ho fatto tutti calcoli, e comunque sia se il nucleo ha dimensione zero allora esso ha solo il vettore nullo (per un certo valore del parametro) e questo lo capisci dal ranko del sistema al quale facevo riferimento...
Però questo ragionamento un po' mi sbalordisce perchè arrivo a concludere che il nucleo ha dimensione zero.
Devi sporcarti un po le mani (come diceva il mio vecchio docente in questi casi) ti assicuro che capirai tutto....
@garnak.olegovitc
sisi lo so che bisogna perderci un po' di tempo, ti domandavo soltanto se il ragionamento stava in piedi al di là dei calcoli.
Comunque grazie mille, sei stato di grande aiuto
sisi lo so che bisogna perderci un po' di tempo, ti domandavo soltanto se il ragionamento stava in piedi al di là dei calcoli.
Comunque grazie mille, sei stato di grande aiuto
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