Problema sulle soluzioni di un sistema
Salve! Qualcuno può aiutarmi con un paio di esercizi? 
1) Determinare i valori di t per i quali il sistema
$\{(tx+4y=1),(y+(t+3)z=2),(2x-7z=3):}$
ammette più di una soluzione.
Io ho pensato che un sistema o ha infinite soluzioni, o ne ha una o non ne ha.. perciò la richiesta può essere vista come trovare i valori per cui il sistema a infinite soluzioni.. o meglio i valori per cui il determinante della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa che è uguale a 2!
Ho impostato un sistema con i due determinanti uguagliati a 0 e sono andato a risolvere ma arrivo ad ottenere:
$\{(t=-24),(12t=-92):}$
Dal quale non riesco ad ottenere un unico valori di t per il quale entrambi i determinanti sono uguali a 0!
2) Assegnata $C:\{(x=e^t),(y=4e^(t/2)),(z=2t):}$ determinare la lunghezza dell'arco ottenuto al variare di t nell'intervallo $[0,1]$
Questa volta non so proprio da dove cominciare..
E già che ci sono chiedo qua per non aprire un altro post! Questo l'ho risolto ma non sono sicuro di averlo fatto bene!
Praticamente mi sono stati assegnati 3 punti, due li conosco mentre un terzo è $(t,t+1)$ e mi viene chiesto qual'è il valore da dare al punto affinché il triangolo sia rettangolo!
Io ho trovato la retta passante per i due punti che mi sono stati dati, poi trovato quella perpendicolare passante per O (che sarebbe il punto in cui deve essere rettangolo il triangolo).. in questo modo so che tutti i punti che appartengono a quella retta soddisfano la richiesta.. però mi viene chiesto che il punto cercato sia $(t,t+1)$, quindi ho inserito questi valori nell'equazione della retta e trovato t in questo modo!
Ma così il risultato è unico mentre mi vengono chiesti i valori.. mi sto perdendo qualcosa o quel plurale serve solo per portarmi fuori strada?
Grazie!
1) Determinare i valori di t per i quali il sistema
$\{(tx+4y=1),(y+(t+3)z=2),(2x-7z=3):}$
ammette più di una soluzione.
Io ho pensato che un sistema o ha infinite soluzioni, o ne ha una o non ne ha.. perciò la richiesta può essere vista come trovare i valori per cui il sistema a infinite soluzioni.. o meglio i valori per cui il determinante della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa che è uguale a 2!
Ho impostato un sistema con i due determinanti uguagliati a 0 e sono andato a risolvere ma arrivo ad ottenere:
$\{(t=-24),(12t=-92):}$
Dal quale non riesco ad ottenere un unico valori di t per il quale entrambi i determinanti sono uguali a 0!
2) Assegnata $C:\{(x=e^t),(y=4e^(t/2)),(z=2t):}$ determinare la lunghezza dell'arco ottenuto al variare di t nell'intervallo $[0,1]$
Questa volta non so proprio da dove cominciare..
E già che ci sono chiedo qua per non aprire un altro post! Questo l'ho risolto ma non sono sicuro di averlo fatto bene!
Praticamente mi sono stati assegnati 3 punti, due li conosco mentre un terzo è $(t,t+1)$ e mi viene chiesto qual'è il valore da dare al punto affinché il triangolo sia rettangolo!
Io ho trovato la retta passante per i due punti che mi sono stati dati, poi trovato quella perpendicolare passante per O (che sarebbe il punto in cui deve essere rettangolo il triangolo).. in questo modo so che tutti i punti che appartengono a quella retta soddisfano la richiesta.. però mi viene chiesto che il punto cercato sia $(t,t+1)$, quindi ho inserito questi valori nell'equazione della retta e trovato t in questo modo!
Ma così il risultato è unico mentre mi vengono chiesti i valori.. mi sto perdendo qualcosa o quel plurale serve solo per portarmi fuori strada?
Grazie!
Risposte
Per il primo esercizio io noterei che per $t=-24$ la matrice completa diventa
$((-24,4,0,1),(0,1,-21,2),(2,0,-7,3))$
che ha rango $3$ infatti per esempio $det((-24,4,1),(0,1,2),(2,0,3))=-58 \ne 0$. Questo per dire che io sono daccordo con te nell'affermare che non vi è alcun valore di $t$ per cui il sistema risulti indeterminato...
L'angolo retto deve stare in $(t,t+1)$ o in qualche altro punto? Quali sono gli altri due punti? Potresti esplicitare?
$((-24,4,0,1),(0,1,-21,2),(2,0,-7,3))$
che ha rango $3$ infatti per esempio $det((-24,4,1),(0,1,2),(2,0,3))=-58 \ne 0$. Questo per dire che io sono daccordo con te nell'affermare che non vi è alcun valore di $t$ per cui il sistema risulti indeterminato...
"Xeanorth":
Praticamente mi sono stati assegnati 3 punti, due li conosco mentre un terzo è (t,t+1) e mi viene chiesto qual'è il valore da dare al punto affinché il triangolo sia rettangolo!
L'angolo retto deve stare in $(t,t+1)$ o in qualche altro punto? Quali sono gli altri due punti? Potresti esplicitare?
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