Problema sulle sfere
Buongiorno,
riporto il seguente problema:
In un riferimento cartesiano si considerino il punto $A(0,0,-1)$ e la retta $r:\{(6x-2z=0),(4z-6y=0):}$.
Determinare le equazioni delle sfere tangenti il piano $xy$, con il centro su $r$ e passanti per $A$.
Ora, premetto che,con questo genere di problemi, cerco sempre di immaginare quello che mi si chiede ed infatti qui: [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%3D0[/url vi è la rappresentazione del piano $xy$ di equazione $z=0$ (giusto?)...Dunque devo trovare quelle sfere con il centro su $r$ tangenti il piano e passanti per $A$.
Se le sfere passano per $A$ avranno un'equazione del tipo:
$0^2+0^2+1^2-2alpha0-2beta0+2gamma1+delta=0$ cioè $1+2gamma+delta=0$...Ma già qui sono scettica.
Poi hanno il centro su $r$...Dunque il centro non potrebbe essere il vettore costituito dai parametri direttori della retta?
Onestamente non so come muovermi... Cerco una dritta per imparare ad inquadrare bene questi problemi.
riporto il seguente problema:
In un riferimento cartesiano si considerino il punto $A(0,0,-1)$ e la retta $r:\{(6x-2z=0),(4z-6y=0):}$.
Determinare le equazioni delle sfere tangenti il piano $xy$, con il centro su $r$ e passanti per $A$.
Ora, premetto che,con questo genere di problemi, cerco sempre di immaginare quello che mi si chiede ed infatti qui: [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%3D0[/url vi è la rappresentazione del piano $xy$ di equazione $z=0$ (giusto?)...Dunque devo trovare quelle sfere con il centro su $r$ tangenti il piano e passanti per $A$.
Se le sfere passano per $A$ avranno un'equazione del tipo:
$0^2+0^2+1^2-2alpha0-2beta0+2gamma1+delta=0$ cioè $1+2gamma+delta=0$...Ma già qui sono scettica.
Poi hanno il centro su $r$...Dunque il centro non potrebbe essere il vettore costituito dai parametri direttori della retta?
Onestamente non so come muovermi... Cerco una dritta per imparare ad inquadrare bene questi problemi.
Risposte
La prima intuizione che hai avuto è corretta: la sfera di equazione $(x-a)^2+(y-b)^2+(y-c)^2=R^2$ deve passare per il punto $A$ e quindi
$a^2+b^2+(1+c)^2=R^2$ (lo scrivo così perché è più comodo).
Ora, il fatto che il centro apprtiene alla retta implica che le sue coordinate $(a,b,c)$ soddisfino l'equazione della retta e quindi le due condizioni
$6a-2c=0,\ 4c-6b=0$ da cui $c=3a,\ 3b=2c$ e quindi ancora $c=3a,\ b=2a$.
Infine la richiesta di tangenza col piano $z=0$ implica che il centro della sfera avrà distanza $R$ da un punto che giace su tale piano e che si trova proiettando ortogonalmente il punto $C$: tale punto è $C'(a,b,0)$ (perché?) e quindi si deve avere che
$C C'=R$ o anche $|c|=R$
Utilizzando le precedenti condizioni e sostituendo nella prima condizione si ha
$a^2+4a^2+(1+3a)^2=c^2=9a^2$ o anche, dopo un po' di calcoli, $5a^2+6a+1=0$ da cui $a=-1,\ a=-1/5$.
$a^2+b^2+(1+c)^2=R^2$ (lo scrivo così perché è più comodo).
Ora, il fatto che il centro apprtiene alla retta implica che le sue coordinate $(a,b,c)$ soddisfino l'equazione della retta e quindi le due condizioni
$6a-2c=0,\ 4c-6b=0$ da cui $c=3a,\ 3b=2c$ e quindi ancora $c=3a,\ b=2a$.
Infine la richiesta di tangenza col piano $z=0$ implica che il centro della sfera avrà distanza $R$ da un punto che giace su tale piano e che si trova proiettando ortogonalmente il punto $C$: tale punto è $C'(a,b,0)$ (perché?) e quindi si deve avere che
$C C'=R$ o anche $|c|=R$
Utilizzando le precedenti condizioni e sostituendo nella prima condizione si ha
$a^2+4a^2+(1+3a)^2=c^2=9a^2$ o anche, dopo un po' di calcoli, $5a^2+6a+1=0$ da cui $a=-1,\ a=-1/5$.
Ho letto e rifatto per mio conto tutto quanto spiegato sopra.
Unica nota... Mi hai chiesto il motivo delle coordinate di $C'$.
È legato al piano? Dato che quest'ultimo giace nel piano $xy$ e l'unica coordinata nulla è la $z$?
Ps Grazie mille, le tue spiegazioni sono davvero chiare e precise!
Unica nota... Mi hai chiesto il motivo delle coordinate di $C'$.
È legato al piano? Dato che quest'ultimo giace nel piano $xy$ e l'unica coordinata nulla è la $z$?
Ps Grazie mille, le tue spiegazioni sono davvero chiare e precise!
Yes! 
Prova a cercare come si definiscono, in generale, le proiezioni ortogonali di un punto $(a,b,c)$ rispetto al piano $\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$ e vedrai che questa è un semplice caso particolare.
Prova a cercare come si definiscono, in generale, le proiezioni ortogonali di un punto $(a,b,c)$ rispetto al piano $\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$ e vedrai che questa è un semplice caso particolare.
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