Problema sulle coniche e i luoghi

[raffaele19651]

Ciao a tutti.
Vorrei sottoporvi questo problema sui luoghi (abbastanza facile tra l'altro).
Secondo me la traccia non è corretta o non lo è la risposta. Qualcuno di voi mi aiuta a capire? Grazie.

Considera i punti $A(-2,)$ e $B(4,0)$. Scrivi l'equazione del luogo dei punti $P$ del piano per i quali il triangolo $APB$ ha perimetro 14.
Risposta $(x-1)^2/16 + y^2/7 =1$

Io ho calcolato le distanze con il teorema di Pitagora e impostato la relazione
$\bar (AB) + \bar(PA) + \bar(PB) = 14$ ovvero

$sqrt((x+2)^2 + y^2) + sqrt((x-4)^2+y^2) + 6 = 14$

ma i calcoli portano da tutt'altra parte.

Sbaglio io? O effettivamente c'è un errore nella traccia?

Grazie per l'aiuto

Raffaele

[raffaele19651]

Il Punto A vale $A(-2, 0)$.

Pardon per la svista.

Raffaele

[stormy1]

la soluzione del libro è giusta e ti spiego perchè
il problema equivale a trovare il luogo dei punti $P$ tali che $ bar(PA)+bar(PB)=8 $
ma questo luogo definisce proprio l'ellisse che ha fuochi in $A$ e $B$,$2a=8$;$2c=bar(AB)=6$ e di conseguenza $a^2=16;b^2=a^2-c^2=7$
inoltre il centro dell'ellisse è il punto medio del segmento $AB$,cioè$(1,0)$

[raffaele19651]

Grazie tanto, capisco bene ora.
Perché non vale l'impostazione che ho dato io?

Alla prossima

Raffaele

[stormy1]

"raffaele1965":Perché non vale l'impostazione che ho dato io?

non è che non vale,sviluppando i calcoli si arriva alla stessa soluzione
il fatto è che quando si vuole risolvere un esercizio si deve cercare sempre la strada più semplice altrimenti ci si può perdere

[raffaele19651]

stormy:[quote=raffaele1965]Perché non vale l'impostazione che ho dato io?

non è che non vale,sviluppando i calcoli si arriva alla stessa soluzione
il fatto è che quando si vuole risolvere un esercizio si deve cercare sempre la strada più semplice altrimenti ci si può perdere[/quote]


Penso di essere scimunito; svolgendo i calcoli il risultato a cui pervengo (usando Derive) é

$x^2 + 4·x + y^2 + 4 + x^2 - 8·x + y^2 + 16 +2(x^2 - 8·x + y^2 + 16)(x^2 + 4·x + y^2 + 4) -64 =0$

$x^4 - 4·x^3 + 2·x^2·y^2 - 11·x^2 - 4·x·y^2 + 30·x + y^4 + 21·y^2 = -42$

Ma non so il perché. Non riesco a vedere il mio errore.

Scusa ma questo problema mi fa ammattire.

Raffaele

[stormy1]

scusa,ma quando hai fatto il doppio prodotto,chi ti ha dato il permesso di togliere le radici ?
$(sqrta+sqrtb)^2=a+b+2sqrt(ab)$

[raffaele19651]

Oppss ... andiamo bene.
L'ho detto io che mi era imbambolato il cervello.

Però che calcoli....

Grazie @stormy

Raffaele