Problema sulle coniche
salve a tutti vi pongo qualche quesito al quale non ho saputo trovare risposta:
presa la conica $ C_k : x^2 + 2kxy + (k + 1)y^2 -kx = 0 $ si determini al variare di k:
1)la conica che ha come centro il punto $C[2,-1,2]$ Risultato: K=1
2)la conica che ha come asintoto la retta $a: x+3y-3$ Risultato: K=2
allora il primo punto sono riuscito a farlo mettendo in sistema le due equazioni del diametro scritte in coordinate omogenee, quindi $aX_1+bX_2+cX_3=0$ e ci ho sostituito dentro le coordinate del centro in modo tale alla fine rmane solo il parametro k....ma di questo metodo non sono sicuro.
Mentre per il secondo punto non sò da che parte cominciare purtroppo e inoltre volevo sapere anche come sif aceva nel caso in cui invece dell asintoto e del centro mi avesse dato il vertice o l' asse.
Vi pongo un altro quesito che non c' entra con le coniche: in un esercizio in cui mi chiedeva preso l' insieme delle soluzioni $ S ={ (t; t-1) in RR^2, t in RR}$ si determini la copertura lineare $L(S)$ e una sua base.
Io come base di S ho trovato $(1,1);(0,-1)$ e la sua copertura lineare $L(S)=(t; t-1) $
Tuttavia il risultato è che $L(S)=RR^2$ mentre una sua base è quella canonica. Detto ciò qualcuno saprebbe dirmi quale risultato è giusto e nel caso sia giusto quello dell' esercizio saprebbe spiegarmi anche il perchè?
presa la conica $ C_k : x^2 + 2kxy + (k + 1)y^2 -kx = 0 $ si determini al variare di k:
1)la conica che ha come centro il punto $C[2,-1,2]$ Risultato: K=1
2)la conica che ha come asintoto la retta $a: x+3y-3$ Risultato: K=2
allora il primo punto sono riuscito a farlo mettendo in sistema le due equazioni del diametro scritte in coordinate omogenee, quindi $aX_1+bX_2+cX_3=0$ e ci ho sostituito dentro le coordinate del centro in modo tale alla fine rmane solo il parametro k....ma di questo metodo non sono sicuro.
Mentre per il secondo punto non sò da che parte cominciare purtroppo e inoltre volevo sapere anche come sif aceva nel caso in cui invece dell asintoto e del centro mi avesse dato il vertice o l' asse.
Vi pongo un altro quesito che non c' entra con le coniche: in un esercizio in cui mi chiedeva preso l' insieme delle soluzioni $ S ={ (t; t-1) in RR^2, t in RR}$ si determini la copertura lineare $L(S)$ e una sua base.
Io come base di S ho trovato $(1,1);(0,-1)$ e la sua copertura lineare $L(S)=(t; t-1) $
Tuttavia il risultato è che $L(S)=RR^2$ mentre una sua base è quella canonica. Detto ciò qualcuno saprebbe dirmi quale risultato è giusto e nel caso sia giusto quello dell' esercizio saprebbe spiegarmi anche il perchè?
Risposte
Ciao, nel tuo secondo quesito il vettore $((1), (1))$ non appartiene a $S$. Se $t=1$ allora $t-1 = 0$ quindi il vettore è $((1), (0))$. Un altro vettore possibile è appunto $((0), (-1))$ che può essere sostituito con $((0), (1))$ (moltiplicazione per $-1$) quindi abbiamo trovato la base canonica di $RR^2$.
Omogenizza l'equazione:
$C_k : x_1^2 + 2kx_1x_2 + (k + 1)x_2^2 -kx_0x_1 = 0$
La condizione per cui $a: x+3y-3$ sia asintoto è che sia tangente all'infinito alla curva:
$C_oo: x_1^2 + 2kx_1x_2 + (k + 1)x_2^2=0$
$((0),(-3),(1)) in C_oo Rightarrow 9-6k+k+1=0 Rightarrow k=2$
P.S. Sarebbe da controllare che la distanza tra la curva e la retta tenda a 0, lo lascio a te
$C_k : x_1^2 + 2kx_1x_2 + (k + 1)x_2^2 -kx_0x_1 = 0$
La condizione per cui $a: x+3y-3$ sia asintoto è che sia tangente all'infinito alla curva:
$C_oo: x_1^2 + 2kx_1x_2 + (k + 1)x_2^2=0$
$((0),(-3),(1)) in C_oo Rightarrow 9-6k+k+1=0 Rightarrow k=2$
P.S. Sarebbe da controllare che la distanza tra la curva e la retta tenda a 0, lo lascio a te
"Maci86":
Omogenizza l'equazione:
$C_k : x_1^2 + 2kx_1x_2 + (k + 1)x_2^2 -kx_0x_1 = 0$
La condizione per cui $a: x+3y-3$ sia asintoto è che sia tangente all'infinito alla curva:
$C_oo: x_1^2 + 2kx_1x_2 + (k + 1)x_2^2=0$
$((0),(-3),(1)) in C_oo Rightarrow 9-6k+k+1=0 Rightarrow k=2$
P.S. Sarebbe da controllare che la distanza tra la curva e la retta tenda a 0, lo lascio a te
ook mi sembra giusto..avevo provato anche io a fare così ma non mi usciva perchè non l' avevo scritta in forma omogenea e quindi mi rimaneva il -kx
grazie mile!!
Ricordati il controllo, altrimenti potrebbe essere una retta parallela
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